Задания для самостоятельной работы
Напишите формулы преобразования аффинной системы координат в аффинную систему координат , если
,
,
в системе
.Может ли матрица перехода от базиса , к базису , иметь вид
и почему?Напишите формулы переноса начала, если
в системе координат
.Напишите формулы замены координатных векторов, если
,
.Запишите матрицу перехода от базиса , к базису , в случае:
а) переноса начала;
б) замены координатных векторов.
§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
Понятие направленного угла между векторами вводится на ориентированной плоскости.
Пусть и - ненулевые векторы, заданные в определенном порядке ( - первый вектор, - второй вектор).
Е сли || , то направленным углом между вектором и вектором называется
величина , если базис , - правый;
величина
,
если базис
,
- левый.
Если
,
то направленный
угол между
ними считается равным
,
если
,
то
(рис. 42).
Н
аправленный
угол между вектором
и вектором
обозначается так:
.
На чертеже направленный угол между векторами и показывают дугой со стрелкой, идущей от первого вектора ко второму.
Из определения направленного угла между векторами и следует, что он находится в следующих пределах:
-
.
Рассмотрим две
прямоугольные декартовы системы
координат
и
.
Пусть М(х;у)
в
,
в
.
Так как прямоугольная система координат
- частный случай аффинной, то можно
пользоваться формулами (5) из §12, но
коэффициенты
,
,
,
уже не
могут быть произвольными.
Найдем координаты
векторов
,
в старой системе
.
Рассмотрим два случая.
Базисы , и , одинаково ориентированы (рис. 43).
Пусть направленный
угол
.
Приведем векторы
и
к общему началу О
(рис. 44).
Прямоугольные
треугольники
и
равны по гипотенузе и острому углу (
,
),
следовательно,
и
.
Из
находим:
;
.
Следовательно,
.
;
.
Следовательно,
.
Тогда формулы (5) примут вид:
;
.
(8)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису ,
.
2) Базисы , и , противоположно ориентированы (рис. 45).
П
усть
.
Приведем векторы
и
к общему началу О
(рис. 46).
Рассуждая аналогично случаю 1), получим:
;
;
;
.
Следовательно,
;
.
Тогда формулы (5) примут вид:
;
.
(9)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису , в этом случае
.
Формулы (8) и (9) можно объединить:
, если базисы
,
и
,
одинаково ориентированы, г
, если базисы
,
и
,
противоположно ориентированы. |
,
,
.