Задания для самостоятельной работы

1. Начертите коллинеарные, неколлинеарные векторы.

2. Какое из утверждений верно:

а) если векторы противоположно направлены, то они коллинеарны;

б) если векторы коллинеарны, то они сонаправлены;

в) противоположно направленные и противоположные векторы – это одно и то же?

3. Будут ли векторы компланарными, если || ? А если || и || ? А если ?

4. Будут ли равны между собой все единичные векторы? Почему?

5. Какой вектор противоположен сам себе?

§2. Сложение и вычитание векторов

Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Результатом сложения векторов является их сумма. Сумма векторов и обозначается .

Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

Чтобы сложить векторы и , надо взять произвольную точку и от нее отложить последовательно сначала вектор , затем вектор . Вектор, начало которого совпадает с началом вектора (т.е. первого вектора), а конец – с концом вектора (т.е. второго вектора), есть искомая сумма. На рис. 4 .

По правилу треугольника можно складывать любые векторы.

Коротко правило треугольника можно записать так:

для любых трех точек А,В и С .

Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы и , надо привести их к общему началу, т.е. взять произвольную точку А, построить такие точки В и С, что и , и достроить полученную фигуру до параллелограмма . Вектор - искомая сумма (рис. 5).

По правилу параллелограмма можно складывать только неколлинеарные векторы.

Свойства сложения векторов:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Суммой трех векторов и называется вектор . Учитывая свойство 4⁰, скобки можно опустить и обозначать сумму в виде .

Суммой n векторов называется вектор и обозначается так: .

При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.

Правило многоугольника

Чтобы найти сумму n векторов, надо взять произвольную точку и отложить от нее последовательно эти векторы. Вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего (n-го вектора), есть искомая сумма.

Разностью векторов и называется такой вектор , что . Разность – это результат вычитания векторов. Разность векторов и обозначается так: .

Правило построения разности двух векторов

Чтобы построить разность векторов и , надо привести их к общему началу. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом второго вектора (т.е. вектора ), а конец – с концом первого (т.е. ), есть искомая разность .

Н а рис. 6 .

По правилу треугольника

,

откуда получаем краткую запись правила нахождения разности векторов:

.

Задания для самостоятельной работы

1. Начертите два не исходящих из одной точки неколлинеарных вектора. Постройте их сумму сначала по правилу треугольника, затем по правилу параллелограмма. Постройте их разность.

2. Начертите два коллинеарных вектора. Постройте их сумму и разность.

3. Запишите правило треугольника для точек . Сколькими способами можно это сделать?

4. Даны три точки . Представьте вектор в виде разности двух векторов.

5. Начертите 5 векторов и постройте их сумму, пользуясь правилом многоугольника.