Частные случаи общего уравнения прямой
Выясним особенности расположения прямой относительно аффинной системы координат , если некоторые из чисел А, В и С равны нулю.
Пусть С=0. Тогда уравнение прямой примет вид:
.
Подставляя координаты точки
в это уравнение, убеждаемся, что
получается верное равенство
,
следовательно,
,
т.е. прямая
проходит через начало координат.
Обратно, пусть
.
Тогда
.
Итак,
.
2) Пусть
.
Тогда
.
Учитывая, что
,
получаем, что
.
Обратно, если
,
то
.
Итак,
.
При этом уравнение
имеет вид
или
(где
).
3) Утверждение «
»
предлагаем читателю доказать
самостоятельно.
Из пунктов 1) и 2) следует пункт
4) А=0
и С=0
совпадает с осью
.
В этом случае прямая
(т.е. ось
)
задается уравнением
.
Из пунктов 1) и 3) следует пункт
5) В=0
и С=0
совпадает с осью
.
В этом случае прямая
(т.е. ось
)
задается уравнением
.
Задания для самостоятельной работы
Дано общее уравнение прямой , . Получите из него для прямой каноническое, параметрическое уравнения, уравнение с угловым коэффициентом и уравнение «в отрезках».
Дано параметрическое уравнение прямой :
Получите из них общее уравнение прямой .
Найдите двумя способами (пользуясь частным случаем общего уравнения прямой и пользуясь различными уравнениями прямой) уравнение прямой, проходящей:
а) через точку
параллельно оси
;
б) через точку
параллельно оси
;
в) через начало
координат и точку
.
Выведите условие параллельности вектора
и прямой, заданной в аффинной системе
координат общим уравнением
.Прямая задана в прямоугольной системе координат общим уравнением . Выведите условие перпендикулярности вектора и прямой .
§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
1. Геометрический
смысл знака трехчлена
.
Теорема 1.
Если в аффинной системе координат прямая
задана уравнением
,
то полуплоскости с границей
определяются неравенствами
и
.
Сформулированная
теорема, выражающая геометрический
смысл знака трехчлена
,
позволяет выяснять, лежат ли две точки
по одну сторону от прямой
или по разные стороны. Рассмотрим
простейший пример.
Задача 1.
Выяснить, пересекает ли прямая
отрезок
,
если
.
Решение.
Определим знак трехчлена
в точке
.
Определим знак
трехчлена
в точке
.
Следовательно, точки и лежат по разные стороны от данной прямой, поэтому прямая пересекает отрезок .
Выяснение расположения точек относительно прямой, в свою очередь, применяется при решении геометрических задач, связанных с нахождением условий, определяющих внутренние области углов, треугольников или полос.
2. Взаимное расположение двух прямых.
Теорема 2.
Пусть в аффинной системе координат
прямая
задана уравнением
уравнением
.
1) Прямые
и
пересекаются тогда и только тогда, когда
коэффициенты при
и
в их уравнениях не пропорциональны,
т.е.
;
Чтобы найти
координаты точки
пересечения прямых
и
,
надо решить систему уравнений
и
.
2) Прямые и параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при и пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны, т.е.
;
3) Прямые и совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при и и свободные члены в их уравнениях пропорциональны, т.е.
.
Рассмотрим пример применения этой теоремы.
Задача 2.
Выяснить взаимное расположение прямых
и
.
Решение.
Находим из уравнений прямых
.
Отношение
мы найти не можем, т.к. делить на 0 нельзя.
Поэтому поменяем прямые местами и найдем
отношения
.
Следовательно,
прямые
и
пересекаются. Отношение
находить уже нет необходимости.
Задача 3.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку
и параллельной прямой
.
Решение. Пусть искомая прямая.
Заметим, что задачу
можно решить разными способами. Например,
взяв за направляющий вектор прямой
направляющий вектор
прямой
(т.к.
,
то
),
можно воспользоваться каноническим
уравнением прямой
.
Но мы решим задачу, используя теорему 2.
Из теоремы 2 следует, что так как , то общее уравнение прямой будет иметь вид:
,
т.е. можно считать, что отличаться уравнения прямых и будут только свободными членами.
Чтобы найти С,
используем то, что
.
Подставляя координаты точки
в уравнение прямой
,
найдем С:
.
Тогда
.
3. Пучок прямых. Уравнение пучка прямых.
Множество всех прямых плоскости, проходящих через данную точку , называется пучком прямых. Точка называется центром этого пучка.
Множество всех
прямых плоскости, параллельных данной
прямой
,
называется пучком
параллельных прямых.
Пучок прямых
определяется заданием его центра
,
пучок параллельных прямых – заданием
ненулевого вектора
,
параллельного прямым пучка.
Теорема 3. Пусть известны в аффинной системе координат уравнения двух прямых пучка с центром в точке :
,
.
Тогда уравнение пучка прямых с центром будет иметь вид:
,
г
де
действительные числа, не равные нулю
одновременно. Они определяют некоторую
прямую
пучка.
Геометрический
смысл
и
:
это координаты направляющего вектора
прямой
в базисе
(рис. 59).
Рассмотрим пример применения этой теоремы.
Задача 4.
Найти уравнение прямой
,
проходящей через точку
и через точку пересечения прямых
и
.
Решение.
Заметим, что искомое уравнение можно
найти, вычислив координаты точки
пересечения прямых
и
и применив уравнение прямой, заданной
двумя точками. Но при решении системы
уравнений прямых
и
получаются громоздкие вычисления.
Поэтому задачу
лучше решить по теореме 3. Запишем
уравнение пучка прямых с центром в точке
:
,
(18)
где
.
Так как
,
то искомая прямая принадлежит данному
пучку. Найдем
и
,
определяющие
.
Так как
,
то ее координаты удовлетворяют уравнению
(18):
.
Подставим
в уравнение (18):
.
Заметим, что
(действительно, если
,
то
противоречие с условием
).
Разделим обе части уравнения на :
;
.