Свойства расстояния
1.
►
◄
2.
►
◄
3.
(неравенство треугольника).
►Вытекает
из равенства
и неравенства треугольника для векторов.
◄
Пространство с введенным таким образом расстоянием между двумя точками называется метрическим пространством.
Таким образом, замечательное пространство – это линейное, аффинное (точечное), евклидово и метрическое пространство.
Вопрос 8 Подпространства линейного пространства
Определение. Подмножество W линейного пространства V над P называется его подпространством, если оно само является линейным пространством относительно операций, заданных в V.
Например, R является подпространством пространства С над R (но не С над С), пространство всех непрерывных функций – подпространство пространства функций, заданных на всей числовой прямой. Любое линейное пространство V имеет два тривиальных подпространства: V и .
Теорема 3.4. Для того чтобы непустое подмножество W линейного пространства V над P было его подпространством, необходимо и достаточно, чтобы W было замкнуто относительно операций, заданных в V, т. е. чтобы выполнялись условия:
1)
2)
.
►Необходимость. Пусть W – подпространство пространства V, значит, W – само линейное пространство относительно тех же операций, поэтому внутренняя и внешняя операции в V являются соответственно внутренней и внешней для W, следовательно, условия 1 и 2 выполняются.
Достаточность. Пусть теперь выполняются условия 1 и 2. Тогда операции, заданные в V, для W являются соответственно внутренней и внешней. Остается доказать выполнение аксиом из определения линейного пространства.
Аксиомы 1*, 2* и 5* –
8* в W
выполняются, так как они выполняются в
V
(например,
).
Если
– нейтральный элемент в V,
то, конечно же,
Но попал ли
в W?
Так как
,
то
,
и тогда на основании 2-го условия
Таким образом, если W
замкнуто относительно внешней операции,
то оно обязательно содержит нейтральный
элемент пространства V,
а значит, аксиома 3* из определения
линейного пространства выполняется.
Пусть
.
Тогда
и
.
Опять вопрос: попал ли
в W?
И опять, на основании второго условия
теоремы,
,
а значит, и аксиома 4* из определения
линейного пространства также выполняется.
Вопрос 9 Линейные оболочки
Определение. Линейной оболочкой системы элементов
(3.36)
линейного пространства V над P называется множество
т. е. это множество всевозможных линейных комбинаций элементов системы (3.36) (система (3.36) может быть и бесконечной).
Примерами могут
служить:
– множество всех векторов, параллельных
плоскости Oxy,
,
совпадающая
с предыдущей;
– множество многочленов степени не
выше двух.
Теорема 3.5. Линейная оболочка произвольной системы векторов линейного пространства V над P является его подпространством, причем размерность линейной оболочки некоторой системы совпадает с максимальным количеством ее линейно независимых векторов.
►
Выберем произвольные
векторы
и произвольное число
,
,
Тогда
,
а также
Таким образом, на
основании теоремы 3.4
является подпространством пространства
V.
Пусть m
– максимальное количество линейно
независимых элементов в (3.36) (
и пусть подсистема
– (3.37)
линейно независима (если это не так, переставим линейно независимые элементы на первые места). Имеем, во-первых,
.
Во-вторых,
так как m
– максимальное
количество линейно независимых элементов
в (3.36), то
система
линейно зависима, а значит, на основании
свойства 4º линейной зависимости (§ 2),
такие, что
.
Следовательно,
:
[замена
индекса] = =
.
Таким
образом, (3.37) – система образующих в
,
а значит, и базис, поэтому
.