- •Коллоквиум по ла
- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом
- •Примеры линейных пространств
- •Простейшие следствия из аксиом.
- •Вопрос 2 Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства
- •Примеры линейной зависимости и независимости
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •Вопрос 3 Базис и координаты в линейном пространстве
- •Примеры
- •Свойства координат векторов
- •Вопрос 4 Матричный критерий линейной зависимости и независимости
- •Вопрос 5 Размерность линейного пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •Вопрос 7
- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства расстояния
- •Вопрос 8 Подпространства линейного пространства
- •Вопрос 9 Линейные оболочки
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Сумма и пересечение подпространств линейного пространства
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Понятие отображения
- •Вопрос 16
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •Вопрос 17
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Свойства изоморфизма
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Свойства собственных векторов
- •Вопрос 28
- •Правило нахождения собственных векторов
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.
Простейшие свойства линейной зависимости
1º. Система, содержащая нейтральный элемент, линейно зависима.
►Пусть система
(3.9)
содержит нейтральный элемент и пусть, например, . Положим
(3.10)
Среди чисел (3.10) есть отличные от нуля и
значит, система (3.9) линейно зависима. ◄
2º. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
►Пусть система (3.9) содержит линейно зависимую подсистему и пусть, например, подсистема при линейно зависима. Это означает, что существуют числа
, (3.11) не все равные 0, такие что . Положим
(3.12)
Среди чисел (3.12) есть отличные от 0, так как таковые есть среди чисел (3.11), и
.
Таким образом, исходная система линейно зависима. ◄
Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
3º. Критерий линейной зависимости. Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных.
►Необходимость. Дано: система линейно зависима. Значит, существуют числа , не все равные 0, такие, что справедливо равенство
. (3.13)
Пусть, например, Тогда из (3.13) можно выразить :
что и требовалось доказать.
Достаточность. Дано: один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных, например, Положим
(3.14)
Cреди чисел (3.14) есть отличные от 0 и , значит, исходная система линейно зависима. ◄
4º. Пусть система
(3.15)
линейно независима, а система
– (3.16)
линейно зависима. Тогда можно представить в виде линейной комбинации элементов системы (3.15).
►В силу линейной зависимости системы (3.16) существуют числа не все равные 0, такие, что
(3.17)
Предположим, что Значит, среди чисел есть отличные от нуля, и из (3.17) вытекает, что что противоречит линейной независимости (3.15). Таким образом, , и из (3.17) получаем требуемое утверждение.◄
5º. Для того чтобы система из одного элемента была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы он был нулевым.
►Достаточность вытекает из первого свойства.
Необходимость. Пусть система линейно зависима, тогда существует число такое, что . Значит, на основании 6-го следствия из аксиом (§1) .◄
Следующие свойства формулируем для пространства свободных векторов.
6º. Для того чтобы два вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.
7º. Для того чтобы три вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.
►Доказательство последних двух свойств вытекает из третьего свойства и критериев коллинеарности и компланарности из аналитической геометрии. ◄