- •Коллоквиум по ла
- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом
- •Примеры линейных пространств
- •Простейшие следствия из аксиом.
- •Вопрос 2 Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства
- •Примеры линейной зависимости и независимости
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •Вопрос 3 Базис и координаты в линейном пространстве
- •Примеры
- •Свойства координат векторов
- •Вопрос 4 Матричный критерий линейной зависимости и независимости
- •Вопрос 5 Размерность линейного пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •Вопрос 7
- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства расстояния
- •Вопрос 8 Подпространства линейного пространства
- •Вопрос 9 Линейные оболочки
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Сумма и пересечение подпространств линейного пространства
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Понятие отображения
- •Вопрос 16
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •Вопрос 17
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Свойства изоморфизма
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Свойства собственных векторов
- •Вопрос 28
- •Правило нахождения собственных векторов
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.
Вопрос 3 Базис и координаты в линейном пространстве
Определение. Базисом линейного пространства V над полем Р называется упорядоченная система
(3.18)
элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям:
1) , такие, что
(3.19)
2) система (3.18) линейно независима.
Если система (3.18) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства – это его линейно независимая система образующих.
Числа в равенстве (3.19) называются координатами вектора в базисе (3.18), а само равенство (3.19) – разложением вектора по базису (3.18). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису.
Примеры
1. Вспомним, что в пространстве свободных векторов мы назвали базисом любую упорядоченную тройку некомпланарных (т. е. линейно независимых) векторов и показали, что всякий вектор можно по этому базису разложить. Таким образом, мы видим, что понятие базиса в произвольном линейном пространстве – это обобщение понятия базиса в пространстве свободных векторов.
2. Так как , то ( ) – линейно независима. Кроме того, , а значит, система ( ) является и системой образующих и поэтому базисом.
3. . Таким образом, (1, i) – система образующих в C над R, линейная независимость которой доказана в § 2. Следовательно – это и базис.
4.
(3.20)
Тогда
следовательно, (3.20) – система образующих пространства . В § 2 доказано, что эта система линейно независима, значит, она является и базисом линейного пространства .
5. Базисом в пространстве является фундаментальная система решений.
6. ,
(3.21)
Очевидно, поэтому (3.21) – система образующих пространства . Так как эта система ещё и линейно независима (см. § 2), то она является базисом пространства . Этот базис впредь будем называть каноническим.
Свойства координат векторов
1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.
►Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: . ◄
2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.
►Пусть
( ) – (3.22) базис линейного пространства ;
(3.23)
разложение нулевого вектора по базису (3.22). В силу линейной независимости (3.22) из (3.23) вытекает, что . ◄
3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.
►Пусть некоторый вектор в базисе (3.22) имеет два разных набора координат: и . Тогда
( ) =
= [аксиомы 1*, 2* и 6* из определения линейного пространства] =
= (3.24)
Равенство (3.24) – это разложение по базису (3.22) нулевого вектора, и поэтому все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, , что противоречит условию. ◄
4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.
► Пусть заданы векторы своими координатами в базисе (3.22) и пусть Тогда
(3.25)
Равенство (3.25) – это разложение вектора по базису (3.22), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (3.22). В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем: ◄
5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.
Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, т. е. если и то