Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Podgotovka_k_kollokviumu_po_lineyke.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.09.2019
Размер:
1.7 Mб
Скачать

Вопрос 3 Базис и координаты в линейном пространстве

Определение. Базисом линейного пространства V над полем Р называется упорядоченная система

(3.18)

элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям:

1) , такие, что

(3.19)

2) система (3.18) линейно независима.

Если система (3.18) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства – это его линейно независимая система образующих.

Числа в равенстве (3.19) называются координатами вектора в базисе (3.18), а само равенство (3.19) – разложением вектора по базису (3.18). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису.

Примеры

1. Вспомним, что в пространстве свободных векторов мы назвали базисом любую упорядоченную тройку некомпланарных (т. е. линейно независимых) векторов и показали, что всякий вектор можно по этому базису разложить. Таким образом, мы видим, что понятие базиса в произвольном линейном пространстве – это обобщение понятия базиса в пространстве свободных векторов.

2. Так как , то ( ) – линейно независима. Кроме того, , а значит, система ( ) является и системой образующих и поэтому базисом.

3. . Таким образом, (1, i) – система образующих в C над R, линейная независимость которой доказана в § 2. Следовательно – это и базис.

4.

(3.20)

Тогда

следовательно, (3.20) – система образующих пространства . В § 2 доказано, что эта система линейно независима, значит, она является и базисом линейного пространства .

5. Базисом в пространстве является фундаментальная система решений.

6. ,

(3.21)

Очевидно, поэтому (3.21) – система образующих пространства . Так как эта система ещё и линейно независима (см. § 2), то она является базисом пространства . Этот базис впредь будем называть каноническим.

Свойства координат векторов

1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.

►Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: . ◄

2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.

►Пусть

( ) – (3.22) базис линейного пространства ;

(3.23)

разложение нулевого вектора по базису (3.22). В силу линейной независимости (3.22) из (3.23) вытекает, что . ◄

3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.

►Пусть некоторый вектор в базисе (3.22) имеет два разных набора координат: и . Тогда

( ) =

= [аксиомы 1*, 2* и 6* из определения линейного пространства] =

= (3.24)

Равенство (3.24) – это разложение по базису (3.22) нулевого вектора, и поэтому все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, , что противоречит условию. ◄

4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

► Пусть заданы векторы своими координатами в базисе (3.22) и пусть Тогда

(3.25)

Равенство (3.25) – это разложение вектора по базису (3.22), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (3.22). В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем:

5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, т. е. если и то

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]