Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Podgotovka_k_kollokviumu_po_lineyke.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.09.2019
Размер:
1.7 Mб
Скачать

Вопрос 19

Операции над линейными операторами

Определения. Пусть и – линейные пространства над одним и тем же полем .

Суммой линейных операторов и называется отображение такое, что : .

Произведением линейного оператора на число называется отображение такое, что : .

Произведением линейных операторов и называется отображение такое, что : (т. е. произведение линейных операторов – это просто произведение или композиция отображений).

Теорема 4.3. Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на число и произведение линейных операторов также являются линейными операторами. При этом, если , А и В – матрицы линейных операторов f и g соответственно в некотором базисе пространства , то матрицы операторов , и gf в том же базисе совпадают соответственно с матрицами А + В, αА и ВА.

►Доказательство проведем для произведения линейных операторов.

Пусть и – линейные операторы. Тогда

= [линейность f ] = =

=[ линейность g ] = = ;

.

Таким образом, gf – линейный оператор.

Пусть – матрицы линейных операторов и соответственно в базисе пространства , и пусть – матрица оператора gf в том же базисе. Тогда по определению матрицы линейного оператора

. (4.25)

С другой стороны,

[линейность g] = (4.26)

Сравнивая (4.25) и (4.26), на основании единственности координат вектора в данном базисе делаем вывод: , откуда и получаем матричную запись: С = ВА.◄

Вопрос 20

Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице

Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.

Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства была невырожденной

►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда

{f – невырожденный} {однородная система линейных уравнений AX = O имеет единственное тривиальное решение} { }.

Так как определители подобных матриц совпадают, то утверждение справедливо и для любого базиса. ◄

Теорема 4.6. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.

►Пусть и – невырожденные линейные операторы. Тогда

{ } { } { }.

Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄

Вопрос 21

Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности

Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.

Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.

►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда

{ невырожденный} { система имеет единственное решение} { единственный , что }

{ единственный , что } {f – взаимно однозначный}.◄

Теорема 4.6. Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.

►Пусть и – невырожденные линейные операторы. Тогда

{ } { } { }.

Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]