- •Коллоквиум по ла
- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом
- •Примеры линейных пространств
- •Простейшие следствия из аксиом.
- •Вопрос 2 Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства
- •Примеры линейной зависимости и независимости
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •Вопрос 3 Базис и координаты в линейном пространстве
- •Примеры
- •Свойства координат векторов
- •Вопрос 4 Матричный критерий линейной зависимости и независимости
- •Вопрос 5 Размерность линейного пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •Вопрос 7
- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства расстояния
- •Вопрос 8 Подпространства линейного пространства
- •Вопрос 9 Линейные оболочки
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Сумма и пересечение подпространств линейного пространства
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Понятие отображения
- •Вопрос 16
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •Вопрос 17
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Свойства изоморфизма
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Свойства собственных векторов
- •Вопрос 28
- •Правило нахождения собственных векторов
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.
Вопрос 31
Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости
Определение. Говорят, что квадратная матрица А с элементами из поля P приводится к диагональному виду над P, если существует невырожденная квадратная матрица Т с элементами из P такая, что матрица – диагональная.
Теорема 4.14. Для того чтобы квадратная матрица А n-го порядка приводилась к диагональному виду над полем Р, необходимо и достаточно, чтобы все ее характеристические числа принадлежали этому полю и для каждого из них выполнялось условие
, (4.58)
где – кратность корня характеристического уравнения матрицы А.
►Пусть – линейный оператор, построенный в теореме 4.13. На основании свойства 4º § 5 количество всех линейно независимых собственных векторов линейного оператора совпадает с суммой размерностей подпространств по всем собственным значениям . Если это количество линейно независимых собственных векторов обозначить через m, то
.
Тогда
{А приводится к диагональному виду} {в существует базис из собственных векторов оператора f} {любое характеристическое число является собственным значением и } : и : и .◄
Вопрос 32
Присоединенные векторы и правило их нахождения
Определение. Если – собственное значение линейного оператора , а система векторов пространства удовлетворяет условиям:
то вектор , называется i-м присоединенным вектором к собственному вектору линейного оператора .
Теорема 4.15. Пусть – линейное пространство над полем Р. Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю Р, то в существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора f, причем каждому собственному значению в этом базисе соответствует столько собственных векторов и присоединенных к ним, какова кратность этого собственного значения (без доказательства).
Правило нахождения присоединенных векторов
Обозначим А матрицу линейного оператора в некотором базисе, – координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда в матричном виде уравнение для нахождения будет выглядеть так:
что равносильно уравнению
.
Таким образом, видим, что для отыскания i-го присоединенного вектора к собственному вектору с собственным значением следует решить систему линейных уравнений с той же матрицей, что и для отыскания собственного вектора , но неоднородную, причем в качестве столбца свободных членов берется координатный столбец предыдущего присоединенного вектора.
Пример. Найдем базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей
▼ Находим собственные значения.
.
Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.
,
, значит, в искомом базисе – один собственный вектор и два присоединенных. Находим собственный вектор, решая однородную систему с матрицей .
4
7
. (4.59)Получаем систему:
В качестве собственного вектора можно взять, например, частное решение . Теперь находим первый присоединенный вектор, дописывая в цепочке (4.59) к матрице в качестве столбца свободных членов координатный столбец найденного собственного вектора и пересчитывая столбец свободных членов по намеченным стрелкам:
.
Получаем систему
(4.60)
Первый присоединенный вектор находим как частное решение системы (4.60): , а второй – как решение системы с той же матрицей, но в качестве столбца свободных членов уже дописываем координатный столбец вектора , и опять пересчитываем его по намеченным стрелкам:
(4.61)
Частное решение системы (4.61) и будет вторым присоединенным вектором: .
Итак, искомый базис: – собственный; – 1-й присоединенный; – 2-й присоединенный векторы. ▲
Замечание. На практике все три цепочки объединяются в одну, новый столбец свободных членов дописывается к матрице предыдущей системы и пересчитывается по намеченным стрелкам.