- •Коллоквиум по ла
- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом
- •Примеры линейных пространств
- •Простейшие следствия из аксиом.
- •Вопрос 2 Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства
- •Примеры линейной зависимости и независимости
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •Вопрос 3 Базис и координаты в линейном пространстве
- •Примеры
- •Свойства координат векторов
- •Вопрос 4 Матричный критерий линейной зависимости и независимости
- •Вопрос 5 Размерность линейного пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •Вопрос 7
- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства расстояния
- •Вопрос 8 Подпространства линейного пространства
- •Вопрос 9 Линейные оболочки
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Сумма и пересечение подпространств линейного пространства
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Понятие отображения
- •Вопрос 16
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •Вопрос 17
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Свойства изоморфизма
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Свойства собственных векторов
- •Вопрос 28
- •Правило нахождения собственных векторов
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.
Вопрос 4 Матричный критерий линейной зависимости и независимости
Пусть в линейном пространстве V задан некоторый базис, тогда каждый вектор можно разложить по этому базису.
Координатным столбцом вектора в заданном базисе будем называть столбец , составленный из координат вектора в этом базисе.
Лемма 3.1. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы их координатные столбцы в некотором базисе были линейно зависимыми.
► Пусть заданы векторы
, (3.26)
– их координатные столбцы в некотором базисе. Одновременно проводим доказательство и необходимости, и достаточности. Согласно следствию из свойств координат векторов, координатный столбец линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации координатных столбцов векторов-слагаемых. Имеем:
{(3.26) линейно зависима}
, не все равные нулю, что
, не все равные нулю, что {столбцы линейно зависимы}.◄
Теорема 3.1 (матричный критерий). Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе, был меньше количества векторов.
Для того чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, был равен их количеству.
Доказательство вытекает из леммы 3.1 и теоремы 2.4.
Вопрос 5 Размерность линейного пространства
Определение. Число n называется размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется n-мерным, если в V существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n + 1)-го вектора линейно зависима. Размерность пространства по определению считается равной нулю.
Следствие. В n-мерном пространстве любая система из m векторов при m > n линейно зависима.
Размерность линейного пространства V сокращенно обозначается . Если , то пространство будем обозначать . Линейные n-мерные пространства называются конечномерными.
Определение. Линейное пространство V называется бесконечномерным, если в V найдется линейно независимая система из n векторов.
Теорема 3.2. Для того чтобы линейное пространство было n-мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из n векторов.
► Достаточность. Дано: в пространстве V существует базис из n векторов
( ). (3.27)
Тогда в V есть линейно независимая система из n векторов (это система (3.27)). Покажем, что любая система из (n + 1)-го вектора в этом пространстве линейно зависима. Выберем одну из них:
( ). (3.28)
Каждый вектор системы (3.28) можно разложить по базису (3.27). Обозначим – координатные столбцы векторов системы (2) в базисе (1). Тогда
(так как эта матрица имеет только n строк). По матричному критерию система (3.28) линейно зависима и, таким образом, .
Необходимость. Дано: . Согласно определению, в пространстве существует линейно независимая система из элементов. Пусть
( ) – (3.29)
одна из таких систем. Но система
( ) (3.30)
линейно зависима. По 4-му свойству линейной зависимости (§ 2) вектор
можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (3.29), т. е.
Таким образом, (3.29) – система образующих пространства V, а значит, и его базис. ◄
Замечание. При доказательстве необходимости мы одновременно показали, что в n-мерном пространстве любая линейно независимая система из n векторов является базисом.
Следствие. Любой базис конечномерного линейного пространства V содержит одинаковое количество векторов.
►Пусть в пространстве наряду с базисом (3.29) есть еще и некоторый базис
( ), (3.31)
состоящий из m векторов (m ≠ n). Рассмотрим два случая:
а) m > n. Тогда (3.31) линейно зависима согласно следствию к определению размерности, что противоречит определению базиса.
б) m < n. Так как (3.31) – базис пространства , то по теореме 3.2 , поэтому система (3.29) линейно зависима, что противоречит определению базиса. Таким образом, m = n. ◄
Вывод: размерность линейного пространства совпадает с количеством векторов в любом из его базисов.
Используя примеры базисов, приведенные в § 3, можно утверждать, что: , , , , , . Примером бесконечномерного пространства может служить пространство всех функций.
Упражнение. Докажите, что .
Теорема 3.3. В n-мерном линейном пространстве любую линейно независимую систему из m векторов при m < n можно дополнить до базиса.
►Пусть
– (3.32)
линейно независимая система пространства . Предположим, что при всех система линейно зависима. Тогда на основании свойства 4º § 2, вектор можно выразить через векторы системы (3.32), поэтому (3.32) – система образующих, а значит, и базис пространства , следовательно, , что противоречит условию. Таким образом, найдется вектор такой, что система
– (3.33)
линейно независима. Если m + 1 = n, то (3.33) – базис пространства . В противном случае с системой (3.33) поступаем так же, как и с системой (3.32). После конечного числа шагов получаем базис пространства .◄
В
опрос 6
Определение аффинного пространства и следствия из аксиом
Определение. Пусть А – множество элементов произвольной природы, V – действительное линейное пространство. А называется аффинным пространством, связанным с линейным пространством V, если задан закон, по которому каждой паре элементов , где , ставится в соответствие элемент , причем выполняются две аксиомы.
1*. (рис. 3.1).
2*. единственный такой, что . Этот вектор обозначается . Таким образом, (рис. 3.2).
Элементы аффинного пространства называются точками, а операция в аффинном пространстве называется откладыванием вектора от точки.
Рис. 3.1 Рис. 3.2
Как видим, аксиомы аффинного пространства просто «списаны» со школьного точечного трехмерного пространства.