- •Коллоквиум по ла
- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом
- •Примеры линейных пространств
- •Простейшие следствия из аксиом.
- •Вопрос 2 Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства
- •Примеры линейной зависимости и независимости
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •Вопрос 3 Базис и координаты в линейном пространстве
- •Примеры
- •Свойства координат векторов
- •Вопрос 4 Матричный критерий линейной зависимости и независимости
- •Вопрос 5 Размерность линейного пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •Вопрос 7
- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства расстояния
- •Вопрос 8 Подпространства линейного пространства
- •Вопрос 9 Линейные оболочки
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Сумма и пересечение подпространств линейного пространства
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Понятие отображения
- •Вопрос 16
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •Вопрос 17
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Свойства изоморфизма
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Свойства собственных векторов
- •Вопрос 28
- •Правило нахождения собственных векторов
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.
Вопрос 29
Лемма о диагональном виде матрицы линейного оператора. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и первая теорема о приводимости. Следствие. Замечание о матрице, приводящей матрицу А к диагональному виду
Лемма 4.4. Для того чтобы матрица А линейного оператора в некотором базисе пространства имела диагональный вид, необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов оператора f, причем диагональными элементами матрицы А являются собственные значения этого оператора.
►Пусть
– (4.55)
базис пространства , A – матрица оператора f в этом базисе. Тогда
{А – диагональная}
{(4.55) состоит из собственных векторов оператора а – его собственные значения}.◄
Определение. Говорят, что квадратная матрица А с элементами из поля P приводится к диагональному виду над P, если существует невырожденная квадратная матрица Т с элементами из P такая, что матрица – диагональная.
Теорема 4.13. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля P, – линейное пространство над Р, – тот линейный оператор, матрица которого в некотором базисе (4.55) пространства совпадает с А. Тогда для приводимости матрицы А к диагональному виду над полем Р необходимо и достаточно, чтобы в существовал базис, состоящий из собственных векторов оператора f.
►Выберем в еще один базис
(4.56)
и обозначим Т матрицу перехода от исходного базиса (4.55) к базису (4.56). Матрица оператора f в этом базисе имеет вид . Тогда
{в существует базис (4.56) из собственных векторов оператора f }
{матрица оператора в базисе (4.56) диагональная} {А приводится к диагональному виду}.◄
Следствие. Если все характеристические числа матрицы А различны и принадлежат полю Р, то А приводится к диагональному виду над Р.
Замечание. Если матрица А приводится к диагональному виду – матрице , то диагональными элементами последней являются собственные значения матрицы А, а матрица Т, приводящая А к диагональному виду, есть не что иное, как матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов.
Вопрос 30
Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями
Лемма 4.5.. Пусть – собственное значение кратности линейного оператора . Тогда .
►Предположим, что . Выберем в какой-либо базис и дополним его до базиса
(4.57)
пространства . В базисе (4.57) матрица А оператора f выглядит так
,
а ее характеристический многочлен (значит, и характеристический многочлен оператора f) имеет вид: , где –некоторый многочлен степени . Очевидно, – корень характеристического многочлена. Если – кратность , то , что противоречит условию.◄