
- •Коллоквиум по ла
- •Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом
- •Примеры линейных пространств
- •Простейшие следствия из аксиом.
- •Вопрос 2 Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства
- •Примеры линейной зависимости и независимости
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •Вопрос 3 Базис и координаты в линейном пространстве
- •Примеры
- •Свойства координат векторов
- •Вопрос 4 Матричный критерий линейной зависимости и независимости
- •Вопрос 5 Размерность линейного пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •Вопрос 7
- •Свойства скалярного произведения
- •Свойства расстояния
- •Вопрос 8 Подпространства линейного пространства
- •Вопрос 9 Линейные оболочки
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Сумма и пересечение подпространств линейного пространства
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Понятие отображения
- •Вопрос 16
- •Примеры линейных операторов
- •Простейшие свойства линейного оператора
- •Вопрос 17
- •Примеры
- •Связь координат вектора с координатами его образа
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Вопрос 23
- •Свойства изоморфизма
- •Вопрос 24
- •Вопрос 25
- •Вопрос 26
- •Вопрос 27
- •Свойства собственных векторов
- •Вопрос 28
- •Правило нахождения собственных векторов
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •Вопрос 32
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •Таким образом, имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Определим количество собственных и присоединенных векторов.
Вопрос 22
Обратный линейный оператор
Теорема 4.7.
Для любого невырожденного линейного
оператора
существует единственный обратный
оператор
,
который также является линейным. При
этом, если А
– матрица
оператора
в некотором
базисе, то матрица оператора
в том же базисе совпадает с матрицей
.
►Единственность.
Пусть некоторый
оператор
имеет два разных обратных:
и
.
Тогда
– противоречие.
Существование. Пусть А – матрица оператора в некотором базисе. Тогда, по теореме 4.4 , значит, существует . Обозначим – тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисе совпадает с .
Так как
,
и так как произведению матриц соответствует
произведение операторов, то
,
и, таким образом,
.◄
Замечание. Можно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор имеет единственный обратный, который тоже является линейным.
Вопрос 23
Определение и свойства изоморфизма линейных пространств
Определение.
Изоморфизмом
линейных
пространств называется взаимно
однозначный линейный оператор. Если
существует изоморфизм
,
то линейные пространства
и
называются изоморфными. Изоморфизм
обозначается так:
.
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
Свойства изоморфизма
1.
– рефлективность (изоморфизм осуществляет
тождественное отображение).
2.
– симметричность (если первый изоморфизм
осуществляет с помощью отображения f,
то второй – с помощью
).
3. {
,
}
– транзитивность (если первый изоморфизм
осуществляется с помощью отображения
,
второй –
,
то третий изоморфизм осуществляется с
помощью отображения
).
Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.
Вопрос 24
Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств
Определение. Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства и называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.
►Пусть
и пусть
– изоморфизм. Выберем в
какой-либо базис
(4.27)
и покажем, что система
– (4.28)
базис
пространства
.
Действительно, в силу взаимной
однозначности f,
единственный
такой, что
.
Тогда, если
,
то
.
Значит, (4.28) – система образующих в
.
Докажем теперь линейную независимость (4.28).
[линейность f]
[взаимная
однозначность f
]
[линейная независимость (4.27)]
{(4.28) – линейно независима}.
Таким
образом, (4.28) – базис в
,
а значит,
.
◄