Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом

Будем называть полем и обозначать буквой Р множество действительных либо множество комплексных чисел.

Пусть V – множество элементов произвольной природы. Говорят, что в V задана внутренняя операция, если задан закон, по которому каждой паре элементов x и y, принадлежащих V, ставится в соответствие элемент z, также принадлежащий V.

Примерами внутренних операций являются: сложение во множествах чисел, матриц, векторов, функций; умножение во множестве чисел, векторное произведение.

Пусть теперь V – множество элементов произвольной природы, Р – поле действительных или комплексных чисел. Говорят, что в V задана внешняя операция – умножение на числа из Р – если задан закон, по которому каждой паре элементов x V и α Р ставится в соответствие элемент .

Примерами внешних операций являются: умножение чисел (V = Р = = R, или V = Р = С, или V = C, P = R), умножение вектора на число, умножение матрицы на число.

В определении линейного пространства участвуют два множества: множество элементов произвольной природы V и поле Р действительных либо комплексных чисел. Чтобы их различать, будем элементы множества V обозначать малыми латинскими буквами со стрелками , а элементы поля Р – числа – малыми греческими буквами (α, β…).

Определение. Линейным (векторным) пространством над полем Р называется множество V элементов произвольной природы, в котором заданы две операции: внутренняя – сложение, и внешняя – умножение на числа из Р , причем эти операции удовлетворяют следующим аксиомам.

1*. – коммутативность сложения.

2*. – ассоциативность сложения.

3*. существование нейтрального элемента).

4*. – существование противоположного элемента.

5*. .

6*. .

7*. .

8*. .

Если P = R, то линейное пространство называется действительным, если Р = С, то комплексным.

Примеры линейных пространств

1. V = V₃ – множество свободных векторов, Р = R. Внутренняя операция – сложение, внешняя – умножение вектора на число. Мы видим, что аксиомы линейного пространства просто «списаны» со свойств сложения векторов и умножения вектора на число. Поэтому линейное пространство и имеет второе название – векторное, а элементы произвольного линейного пространства называются векторами.

2. V = R, P = R. Внутренняя операция – сложение, внешняя – умножение чисел. Очевидно, все аксиомы выполняются, поэтому поле действительных чисел является действительным линейным пространством. Точно так же поле комплексных чисел является комплексным линейным пространством.

3. V = C, P = R. Внутренняя операция – сложение комплексных чисел, внешняя – умножение комплексного числа на действительное. Очевидно, и в этом случае аксиомы выполняются. Значит, множество комплексных чисел является как комплексным, так и действительным линейным пространством.

4. – множество матриц размеров с элементами из Р – линейное пространство над полем Р относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число.

5. – множество всех решений однородной системы линейных уравнений – линейное пространство относительно обычных операций сложения решений и умножения решения на число.

6. V = F(R) – множество всех функций, определенных на всей действительной прямой – действительное линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

7. V = C[a, b] – множество всех функций, непрерывных на отрезке [a,b], – действительное линейное пространство относительно тех же операций.

8. Пусть – множество упорядоченных наборов n действительных чисел, P = R. Введем в операции сложения и умножения на число следующим образом: положим

Таким образом, в эти операции являются соответственно внутренней и внешней. Проверим выполнение аксиом. :

;

.

:

;

Аналогично проверяется выполнение оставшихся трех аксиом.

Точно так же можно показать, что множество

| }

является как комплексным, так и действительным линейным пространством относительно тех же операций.

Чтобы не создалось иллюзии, что все множества, элементы которых можно складывать и умножать на числа, будут линейными пространствами, приведем примеры множеств, которые таковыми не являются.

1. Множество натуральных чисел не является действительным линейным пространством относительно обычных операций, так как операция умножения натурального числа на действительное не является внешней (например, ).

2. Множество всех разрывных на отрезке [a, b] функций не является действительным линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число, так как операция сложения не является внутренней (при сложении разрывных функций может получиться непрерывная).

3. Пусть Введем в внутреннюю и внешнюю операцию следующим образом:

Так как операция сложения введена обычным образом, то она удовлетворяет всем аксиомам для нее. Проверим выполнение аксиом для операции умножения на число. :

;

, если .

Итак, введенные здесь внутренняя и внешняя операции удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства за исключением одной, последней, про которую студенты часто забывают, считая ее очевидной.