Простейшие свойства линейного оператора
1º. Линейный оператор переводит нейтральный элемент пространства в нейтральный элемент пространства .
►Пусть
– линейный оператор. Тогда
.◄
2º. При линейном операторе линейно зависимые векторы пространства переходят в линейно зависимые векторы пространства .
►Пусть
– линейно зависимые векторы. Это значит,
что существуют числа
,
не все равные нулю, такие, что
.
(4.7)
Подействуем линейным оператором на обе части равенства (4.7). Тогда
(4.7)
[(4.3)
и 1º]
.
Так
как среди чисел
есть отличные от нуля, то система {
}
линейно зависима.◄
Вопрос 17
Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа
Пусть в линейном пространстве над полем задан базис
(4.8)
и
пусть
–
линейный оператор (читается так:
в себя). Построим систему векторов
(
).
(4.9)
Каждый из векторов системы (4.9) можно разложить по базису (4.8):
(4.10)
Сокращенно система (4.10) записывается одним равенством:
.
(4.11)
Расположим числа
в матрицу А
по нашей договоренности: верхний индекс
обозначает номер строки, а нижний –
номер столбца:
Заметим, что столбцы полученной матрицы А являются координатными столбцами образов векторов базиса (4.8) в том же базисе. Обозначим
[
]
=
.
Равенство (4.11)
можно переписать и так:
,
откуда, руководствуясь правилом цепочки,
(4.11) записываем в матричном виде:
.
(4.12)
Матрицей
линейного оператора
в некотором базисе называется матрица
А,
столбцами которой являются координатные
столбцы образов базисных векторов в
том же базисе. Это матрица
,
элементы которой удовлетворяют системе
равенств (4.10) или (4.11), а сама матрица
удовлетворяет матричному равенству
(4.12).
Примеры
1. Матрицей нулевого
оператора
в любом базисе является нулевая матрица;
матрицей тождественного оператора
также в любом базисе является матрица
единичная.
2. Пусть
.
Составим матрицу оператора проектирования
на ось Ox
в базисе
.
Для этого находим образы базисных
векторов и разлагаем их по базису:
.
3. Составим матрицу
оператора
поворота плоскости на угол
(см. § 2) в базисе
.
Из рис. 4.5 и 4.6 видно, что
Тогда
.
Рис. 4.5 Рис. 4.6
Итак, если в пространстве задан какой-либо базис, то каждому линейному оператору можно поставить в соответствие его матрицу в этом базисе, т. е. квадратную матрицу A n-го порядка, причем эта матрица определяется однозначно.
Пусть теперь задана
квадратная матрица А
с элементами из поля P.
Обозначим
вектор, координатный столбец которого
в базисе (4.8) совпадает с i-м
столбцом матрицы А.
Получим упорядоченную систему векторов
(
)
Согласно
теореме 4.1, существует единственный
линейный оператор
такой, что
.
По определению матрица этого оператора
в базисе (4.8) совпадает с А.
Обозначим
– множество всех линейных операторов
линейного пространства
над полем Р
в себя. Из вышесказанного вытекает: если
в
задан базис, то определяется отображение
,
которое ставит в соответствие каждому линейному оператору его матрицу в этом базисе, причем это отображение взаимно однозначно. Это дает возможность в конечномерных линейных пространствах линейные операторы изучать с помощью их матриц.