8.2.6 Переходные процессы в цепях второго порядка

Одна из классических задач в теории переходных процессов – анализ разряда конденсатора на цепь RL.

8.2.6.1 Разряд емкости на цепь rl

1. Независимые начальные условия для рассматриваемой цепи (рис. 8.15):

2. Дифференциальное уравнение цепи и корни характеристического уравнения:

Рис. 8.15

; .

Характеристическое уравнение

или . (8.11)

Корни характеристического уравнения

. (8.12)

3. Полное решение . Вид свободной составляющей и характер переходного процесса будут определяться тем, какими числами будут корни характеристического уравнения. Это зависит от соотношения между параметрами цепи, в частности, от подкоренного выражения в уравнении (8.12). Здесь возможны три варианта:

1. , где  – волновое сопротивление контура, т.е. для низкодобротных контуров Q < 0,5. При этом корни p₁ и p₂ – вещественные отрицательные разные.

2. или Q = 0,5: корни p₁ = p₂ – вещественные отрицательные равные

3. или Q > 0,5: корни p₁ и p₂ – комплексные сопряженные.

В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер (напряжение на емкости u_C монотонно затухает до нуля, не меняя своей полярности); в третьем случае процесс разряда – колебательный.

8.2.6.2 Апериодический разряд емкости на цепь rl

Рассмотрим случай, когда p_1,2 – действительные и отрицательные, т.е. . В этом случае переходный процесс называется апериодическим и вид полного решения следующий:

Найдем постоянные интегрирования А₁ и А₂:

;

; аналогично: .

Таким образом, искомое имеет вид:

.

; .

Качественно изобразим график (рис. 8.15).

Рис. 8.15

Рассмотрим начальные значения:

Получим функцию изменения тока в цепи:

.

С учетом того, что по теореме Виета ,

.

Для построения графика (рис. 8.16) проведем аналогичные изложенным выше исследования. Поскольку , первая экспонента имеет большую постоянную времени и обращается в нуль за больший промежуток времени. Так как , , , тогда

Получим функцию изменения напряжения на индуктивности

.

С учетом сказанного выше, exp1 находится в нижней полуплоскости и имеет большую постоянную времени, а exp2 находится в верхней полуплоскости и устремляется к нулю за меньший промежуток времени (рис. 8.17).

Начальные условия определяются следующим образом . Поскольку , модули exp 1, 2 отличаются на E, причем exp1(0⁺) < exp2(0⁺).

Рис. 8.16

Рис. 8 .17

8.2.5.3 Колебательный заряд конденсатора

В случае, если корни характеристического уравнения p_1,2 комплексные сопряженные, переходный процесс имеет колебательный характер. В данном случае и подкоренное выражение отрицательное. Корни характеристического уравнения в общем случае записываются в виде

,

где  – коэффициент затухания;

 – частота свободных (собственных) колебаний контура.

Между и существует следующая связь

.

Поскольку все изложенные выше выкладки применимы и для данного случая, запишем полное решение

.

Подставив в данную формулу выражения для и , получим:

.

Определим ток в контуре

Таким образом, .

Введем и упростим выражение, полученное для :

.

При построении графиков следует принимать во внимание соотношение между постоянной времени экспоненты и периодом синусоиды в свободной составляющей. Рассмотрим два варианта.

1.  . В данном случае возможно графическое перемножение экспоненты и синусоиды (рис. 8.18).

2.  . В данном случае возможно только аналитическое определение свободной составляющей (рис. 8.19). Для этого необходимо оценить время переходного процесса , где . Далее в зависимости от необходимой точности построения графика этот промежуток времени следует разбить на n интервалов t и далее рассчитать значение искомой функции в каждый момент .

Рис. 8.18

Рис. 8.19

Получим общий вид системы уравнений для определения постоянных интегрирования для случая комплексных корней характеристического уравнения. Как уже было показано, полное решение запишется

.

Для определения В₁ и В₂ составим систему уравнений:

Запишем для t = 0⁺

Таким образом, искомая система уравнений имеет вид: