4.2.2. Определение порядка цепи n

В простейших случаях низкопорядковых цепей можно руководствоваться следующей рекомендацией: порядок цепи определяется количеством независимых реактивных элементов в этой цепи, другими словами, количеством независимых начальных условий. Так, например, фрагменты цепей, приведенных на рис. 8.2. а, б, дают вклад в величину n:

В случае большого количества реактивных элементов в цепи порядок определяется оценочными формулами. Не претендуя на полноту изложения, в качестве примера приведем одну из них:

(8.5)

а) б) с) Рис. 8.3

где r – число реактивных элементов;

а_L, a_C – число узлов, связывающих только индуктивные, или только ёмкостные токи соответственно;

b_L, b_C – число контуров, проходящих только через реактивные элементы – индуктивности и ёмкости, соответственно, и не содержащие резисторов.

Рассмотрим применение формулы (8.5) на примере схемы (рис. 8.3, с): r = 4, a_L = 0, a_C = 0, b_L = 0, b_C = 1, следовательно, порядок цепи n = 4 – 1 = 3.

Часто к быстрому результату при определении порядка цепи приводит следующая рекомендация: степень характеристического уравнения равна сумме порядков дифференциальных уравнений для независимых контуров, выбранных так, чтобы порядок дифференциальных уравнений для них был наименьшим.

Так цепь на рис. 8.3 имеет три независимых контура: внешний контур имеет нулевой порядок, левая ячейка-контур – первый порядок и любой из оставшихся контуров (средняя ячейка, например) – второй порядок. Суммируя порядки этих контуров, получаем n = 3.

4.2.3. Определение корней характеристического уравнения

Если получено итоговое дифференциальное уравнение (8.2), то для составления характеристического уравнения в нем все производные от искомой величины заменяются корнем p в соответствующей степени, а сама искомая функция заменяется единицей:

. (8.6)

Однако процедура получения дифференциального уравнения (8.2) не всегда очевидна и всегда скучна и утомительна. Поэтому разработаны более ловкие и удобные методы составления характеристического уравнения.

Приведем некоторые из них без доказательства в виде практических рекомендаций

Метод входного сопротивления (входной проводимости)

1. Составляем цепь, соответствующую свободному режиму (для этого удаляем все источники электрической энергии: источники ЭДС замыкаем накоротко, ветви с источниками тока размыкаем).

2. Размыкаем цепь в произвольном месте и относительно точек разрыва записываем входное комплексное сопротивление , при этом комплекс емкостного сопротивления , а индуктивного .

3. В полученном выражении повсеместно величину заменяем корнем p и приравниваем выражение к нулю.

4. Уравнение является характеристическим уравнением.

Следует отметить, что для цепей, содержащих большое количество параллельных ветвей, удобно пользоваться методом входной проводимости. Метод состоит в том, что записывается эквивалентная комплексная проводимость между двумя произвольными узлами послекоммутационной цепи с отключёнными источниками. Далее, как и в предыдущем случае, j заменяется на р и решается уравнение .

Метод главного определителя

1. Составляем цепь, соответствующую свободному режиму.

2. Выбираем независимые контуры и задаем направление их контурных токов.

3. Составляем главный определитель , состоящий из собственных и общих контурных комплексных сопротивлений.

4. Повсеместно заменяем на p и приравниваем нулю.

5. Уравнение – характеристическое уравнение

.

Рис. 8.4

Рассмотрим применение описанных способов определения корней характеристического уравнения на примере цепи второго порядка (рис. 8.4). Метод входного сопротивления Разорвём ветвь в цепи (рис. 8.4), содержащую емкость, и относительно точек разрыва запишем входное сопротивление

Тогда характеристическое уравнение для указанной цепи

Метод главного определителя. Выберем независимые контуры и укажем направление их обхода (рис. 8.4). Составим главный определитель, заменяя на p

.

Как видно, оба метода приводят к одному характеристическому уравнению.

Существует еще один способ, основанный на определении постоянной времени, применимый только для цепей I порядка.

Постоянной времени  цепи называют промежуток времени, за который искомая величина изменится в е раз. Время переходного процесса прямо пропорционально  и приближённо равно:

. (8.7)

Для устойчивых цепей (цепей, в которых соблюдается условие ) корни характеристического уравнения должны быть отрицательными или иметь отрицательную действительную часть. Постоянная времени для цепей I порядка связана с корнем характеристического уравнения:

. (8.8)

Причём для цепей, содержащих ёмкость, –  = R_эС, а для цепей, содержащих индуктивность, – =L/R_э, где R_э – эквивалентное сопротивление послекоммутационной цепи, вычисленное относительно зажимов единственного реактивного элемента (накопителя энергии) при удаленных источниках.