2.6 Метод узловых потенциалов

В тех случаях, когда в анализируемой схеме число узлов без единицы меньше числа независимых контуров, метод узловых потенциалов является более экономичным по сравнению с методом контурных токов.

Суть этого метода состоит в определении напряжений между узлами сложной электрической цепи путём решения системы уравнений, составленных на основе первого закона Кирхгофа. После нахождения неизвестных потенциалов, используя закон Ома, определяют токи во всех ветвях, и выясняют их истинное направление.

Потенциал любой одной точки схемы можно принять равным нулю, так как ток в ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, а от разности потенциалов на концах ветви.

При этом число неизвестных уменьшается с n до n -1.

Р ассмотрим применение данного метода для расчета цепи, приведённой на рис. 2.9, которая имеет большое число ветвей (7) и сравнительно небольшое число узлов (4).

Если узел 0 мысленно заземлить, то есть принять его потенциал равным 0, то неизвестными будут потенциалы только трёх узлов: .

Первоначально в исходной схеме произвольно задаём направления токов, которые обозначаются с двумя индексами: первый индекс определяет номер узла, от которого течет ток, а второй - номер узла, к которому ток подтекает.

Для расчета цепи составляют систему уравнений:

где - сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1;

- проводимость ветви, находящейся между узлами

1 и 2, принято всегда брать со знаком «-».

;

- узловой ток первого узла, равный

алгебраической сумме токов, сходящихся в узле.

В образовании узлового тока n-й ветви участвуют лишь те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и источники тока.

Если ЭДС и ток источника тока направлены к узлу, то ставится знак «+», в противном случае «-».

После решения системы уравнений определяют токи в ветвях по закону Ома:

; ; ;

; .

В заключении делают проверку на баланс мощностей:

.

1. Если в ветви находится идеальный источник ЭДС без других сопротивлений, то проводимость такой ветви равна бесконечности (рис. 2.10 а). В этом случае применяют следующий приём.

В такой ветви встречно данному источнику ЭДС включают такой же источник, ЭДС которого равна первому. Чтобы токи в ветвях не изменялись, в оставшиеся ветви добавляют такие же источники ЭДС, направленные от узла А. При этом потенциалы точек 1, 2 и 3 будут равны, то есть могут быть объединены в одну точку А (таким образом, исходная схема в принципе не нарушена). В результате получим схему, изображенную на рис. 2.11.

2. Е сли в ветви находится идеальный источник тока, то его проводимость равна нулю . В этом случае применяют правило переноса источника тока.

В результате такого преобразования в каждом из узлов, значения токов не изменяются. Например, ток в узле В остался неизменным, так как в этот узел добавили и вычли ток J. Из узла А ток J также вытекает, только теперь с другой стороны.