- •Лекции по дисциплине «электротехника и электроника»
- •Глава 1 основные понятия и определения электрических цепей
- •Электрическая цепь и её элементы
- •Активные элементы
- •1.4 Пассивные элементы
- •1.5 Основные законы и уравнения электрических цепей
- •Глава 2. Основные свойства и методы расчета электрических цепей постоянного тока
- •2.1 Метод контурных токов
- •2.2 Принцип наложения и метод наложения
- •2.6 Метод узловых потенциалов
- •2.7 Метод эквивалентного генератора
- •2.8 Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке
- •2.9 Преобразования в линейных электрических цепях
- •Глава 3 линейные цепи синусоидального тока
- •3.1 Синусоидальный ток и его основные характеристики
- •3.2 Получение синусоидальной эдс
- •3.3 Способы изображения синусоидальных величин
- •3.4 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
- •3.5 Пассивные элементы r, l, c в цепи синусоидального тока
- •3.6 Последовательное соединение элементов r, l, c в цепи синусоидального напряжения
- •3.7 Мгновенная и средняя мощности. Активная, реактивная и полная мощности. Измерение мощности ваттметром
- •3.8 Треугольники сопротивлений, напряжений и мощностей
- •3.9 Топографическая и векторная диаграммы
- •3.10 Резонанс напряжений
- •3.11 Резонанс токов
- •3.12 Частотные характеристики пассивных двухполюсников
- •3.13 Условие передачи максимальной мощности от активного двухполюсника нагрузке
- •3.14 Падение и потеря напряжения в линии передачи электроэнергии
- •Глава 4 цепи со взаимной индуктивностью
- •4.1 Индуктивно связанные элементы. Эдс взаимной индукции
- •Последовательное соединение индуктивно связанных элементов цепи
- •Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи
- •4.4 Эквивалентная замена индуктивно связанных цепей
- •4 .5 Трансформатор. Вносимое сопротивление. Векторная диаграмма
- •Глава 5 расчёт трёхфазных электрических цепей
- •5.1. Основные понятия и определения
- •5.2 Основные схемы соединения трёхфазных цепей
- •5.3 Методы расчета трёхфазных цепей
- •5.3.1 Соединение звездой
- •5.3.2 Соединение треугольником
- •5.4 Измерение мощности в трёхфазных цепях
- •5.4 Аварийные режимы
- •5.5 Вращающееся магнитное поле
- •Глава 6 линейные цепи с несинусодальными источниками
- •6.1 Основные понятия и определения
- •6.2 Особенности расчета линейной электрической цепи с несинусоидальными источниками
- •6.3 Мощность при несинусоидальных источниках
- •6.4 Высшие гармоники в трёхфазных цепях
- •Глава 7 четырёхполюсники
- •7.1 Определение четырёхполюсника. Основные формы записи уравнений четырёхполюсника
- •7.2 Определение коэффициентов четырёхполюсника
- •7.2 Определение коэффициентов y, z, h, g и в форм уравнений через коэффициенты формы а
- •Эквивалентные схемы четырёхполюсника
- •7.4 Соединение четырехполюсников
- •8 Переходные процессы в линейных электрических цепях
- •8.1 Общие вопросы теории переходных процессов
- •4.2. Классический метод расчёта переходных процессов
- •4.2.1. Определение принужденной составляющей
- •4.2.2. Определение порядка цепи n
- •4.2.3. Определение корней характеристического уравнения
- •8.2.4. Определение постоянных интегрирования
- •8.2.5 Переходные процессы в цепях первого порядка
- •8.2.5.1 Разряд заряженной ёмкости через сопротивление r
- •8.2.5.2 Подключение r -цепи к источнику постоянного напряжения
- •4.2.5.3 Подключение rl-цепи к источнику постоянного напряжения
- •8.2.5.4 Подключение rc-цепи к источнику гармонического напряжения
- •8.2.6 Переходные процессы в цепях второго порядка
- •8.2.6.1 Разряд емкости на цепь rl
- •8.2.6.2 Апериодический разряд емкости на цепь rl
- •8.2.5.3 Колебательный заряд конденсатора
- •8.2.5.4 Общий случай расчета цепи второго порядка
- •8.3 Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •8.3.1 Преобразование Лапласа. Основные теоремы операторного метода
- •Теоремы операторного метода
- •Ключевые теоремы
- •Некоторые типовые преобразования Лапласа
- •8.3.2 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
- •8.3.3 Эквивалентные операторные схемы
- •8.3.4 Порядок расчета переходных процессов операторным методом
- •8.3.6 Расчет свободных составляющих операторным методом
8.3.4 Порядок расчета переходных процессов операторным методом
Анализ независимых начальных условий (для этого необходимо рассчитать режим в t = 0–).
Составление эквивалентной операторной схемы.
Расчет операторной схемы любым расчетным методом в операторной форме, привести изображение X(p) искомой величины к виду рациональной дроби.
Определение оригинала x(t) по X(p), т.е. обратный переход.
8.3.5. Нахождение оригинала по изображению
При расчете переходных процессов операторным методом необходимо не только находить изображение функций, их производных и интегралов, но и решать обратную задачу – находить функции (оригиналы) по их изображениям. Существуют следующие способы решения этой проблемы:
Использование обратного преобразования Лапласа
, (8.35)
которое представляет собой решение интегрального уравнения (8.27) относительно неизвестной функции f(t) и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (8.35) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменного p, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции F(p). Такой способ в прикладных задачах электротехники не используется.
Табличный метод. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в математических и электротехнических справочниках. При использовании этого способа возникают трудности, связанные с распознаванием и сведением функций к табличному виду.
Использование теоремы о вычетах или теоремы разложения.
Для каждой функции времени, входящей в уравнение Кирхгофа, описывающего расчетную цепь, устанавливается в соответствие операторное изображение, после чего система линейных дифференциальных уравнений переписывается в виде системы алгебраических уравнений (также получаем операторную схему замещения). Система алгебраических уравнений рассчитывается относительно операторного изображения искомой величины, по которому с помощью теоремы разложения находится оригинал.
Теорема разложения имеет две модификации в зависимости от операторного изображения искомой величины:
1) = , (8.36)
где n – порядок цепи,
pi – простые корни характеристического уравнения N(p) = 0;
.
2) = , (8.37)
где pi – корни характеристического уравнения F3(p) = 0.
В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (8.37) соответствует сигналам, имеющим принужденную составляющую.
Если уравнение F2(p) = 0 имеет комплексные сопряженные корни и , то достаточно вычислить слагаемое сумм (4.36) или (4.37) только для корня , а для корня взять значение, сопряженное этому слагаемому, т.е.
= (8.38)
или
= . (8.39)
Если среди корней многочлена F2(p) = 0 есть q простых корней (p1, p2, …, pq), корень pr кратности r и корень ps кратности s, то можно записать теорему разложения с двойной суммой в правой части (одна сумма – по числу корней, а вторая – для каждого корня по порядку его кратности):
=
(8.40)
Если нужно вычислить начальное (при t = 0+) и установившееся (при t = ) значения оригинала, т.е. f(0+) и f(), то можно воспользоваться формулами (8.31 36) и (8.32 37). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, если установившийся процесс непериодический, определяются достаточно просто по так называемым предельным соотношениям:
(8.41)
и
. (8.42)
Рассмотрим специфические особенности применения метода.
Пример 1. Рассмотрим заряд конденсатора при подключении RC–цепи на постоянное напряжение (рис. 8.27, а). Определим закон изменения в переходном режиме.
Цепь с нулевыми начальными условиями. Соответствующая операторная схема замещения представлена на рис. 8.27, б.
Операторное изображение напряжения на конденсаторе определим по закону Ома:
Изображение тока в операторной схеме замещения
Рис. 8.27
Для отыскания воспользуемся теоремой разложения:
= .
Используя предельные соотношения, определим соответственно начальное и установившееся значения напряжения на конденсаторе:
Аналогичные значения будут получены по формуле, описывающей закон изменения в переходном режиме и .
Рис. 8.28 |
Пример 2. Найти напряжение на емкости в цепи (рис. 8. 28), подключенной к источнику постоянного напряжения U = 4 B. Параметры элементов электрической цепи приведены на рисунке. 1. Анализ независимых начальных условий (докоммутационный режим) проводится по схеме рис. 8.29.
|
Рис. 8.29 |
Эквивалентная операторная схема представлена на рис. 8.30.
-
Рис.30
Операторные сопротивления:
Операторные ЭДС:
3. Расчет эквивалентной операторной схемы методом узловых потенциалов:
.
После необходимых преобразований получим
.
4. Для отыскания воспользуемся теоремой разложения:
= ,
здесь ,
,
Таким образом,
.
Окончательно
.