5.2 Момент инерции. Момент импульса

Обычно в качестве основной точки О берется центр инерции (центр масс) тела. Чтобы знать скорость любой точки твердого тела необходимо задать шесть независимых величин относительно некоторой системы координат (3 вращательных и 3-поступательных). Т.о. твердое тело есть механическая система, обладающая шестью степенями свободы. Центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела под действием всех приложенных к нему сил. Центр инерции совпадает с центром тяжести, когда твердое тело движется поступательно.

Центрифугированием называется процесс отделения (сепарации) мелких частиц от жидкостей, в которых они находятся, обусловленный центробежной силой инерции. Сепарирование и очистка молока, разделение макромолекул, форменных элементов крови, центрифугирование клеточного вещества и т.п.)

Вращение вызывает составляющая F, лежащая в плоскости перпендикулярной к оси вращения и направленная по касательной к окружности, которую описывает точка приложения силы. Сила F является вращающей силой. Действие силы тем значительнее, чем больше расстояние точки ее приложения от оси вращения. Это учитывается с помощью физической величины, называется вращающим моментом или моментом силы.

«Моментом силы относительно оси вращения называют векторное произведение радиус-вектора на силу»

М=F∙r (6)

Единица измерения (Н∙м) – СИ. Момент силы векторная величина. Вектор момента силы приложен к центру окружности и направлен вдоль оси вращения в направлении, определяемом по «правилу буравчика». Если под действием момента силы тело по отношению наблюдателя вращается по часовой стрелке, то момент считается положительным. В противном случае – отрицательным.

Если на тело действуют несколько моментов сил, они складываются алгебраически (учитывая знак). Тело может находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов, действующих на тело, равна нулю:

(7)

Мысленно разобьем твердое тело на элементарные массы. Благодаря сила F на каждую элементарную массу ∆m_i согласно рис. 1. Согласно второму закону Ньютона ∆F_i=∆m_i∙a_i, где a_i – ускорение, сообщаемое элементарной массе. Умножим обе части равенства на радиус окружности, описываемой точкой ∆F_i r_i =∆m_i∙a_i∙r_i. Зная, что a=βr - соотношение связывает линейное и угловое ускорения, подставим, получим F_i r_i =∆m_i∙r_i²β, обозначим

∆I_i=∆m_i∙r_i² (8), тогда ∆М_i=∆ I_i∙β.

Величина ∆I_i называется моментом инерции элементарной массы (материальной точки) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.Суммируя вращающие моменты ∆М_i, приложенные ко всем элементарным массам, составляющим тело, получим

(9), где - вращающий момент, приложенный к нему, т.е. вращающий момент силы F; =I – момент инерции тела. Единицей измерения является (кг∙м²) – СИ.Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело.

5.3 Уравнение динамики вращательного движения

Формулу (9) перепишем в виде М=I∙β (10) – основной закон динамики вращения. (второй закон Ньютона для вращательного движения).Момент вращающей силы, приложенный к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение.Как видно из формулы (10) угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции6 тела, чем больше последний, тем меньше угловое ускорение. Момент инерции характеризует инерционные свойства тела. Обычно на практике рассчитывают моменты инерции относительно осей симметрии тела. Моменты инерции некоторых тел:

1. Стержня длиной l. I= (11).

2. Диска или цилиндра. Ось вращения совпадает с геометрической осью цилиндра I= (12).

3. Шара радиусом R. Ось вращения проходит через центр его

I= (13).

4. Бруска длиной «а» и шириной «в». I= (14).

5. Кольца I= (15).

Опорно-двигательный аппарат человека и животного состоит из сочленения между собой костей скелета, к которым в определенных точках прикрепляются мышцы, которые являются активной частью опорно-двигательного аппарата.

Если известен момент инерции тела относительно оси I₀, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела и произведения массы «m» тела на квадрат расстояния «d» между осями: I=I₀+md² (16) – теорема Штейнера.

Тело вращается относительно некоторой оси. Пусть М=const и I=сonst. Тело т.е. вращается равноускоренно, тогда угловое ускорение , где ω₀ и ω – начальная и конечная угловые скорости, подставим это в формулу (14), будем иметь или (17). Произведение Mt – называется импульсом момента сил, - называется моментом импульса тела. Формула (17) выражает закон изменения момента импульса.

Изменение момента импульса тела за некоторый промежуток времени равно импульсу момента силы Зв тот же промежуток времени.

Этот закон справедлив и в общем случае переменного вращающего момента М≠const.

Вращающий момент, импульс момента и момент импульса являются векторными величинами; они направлены по оси вращения в соответствии с правилом Буравчика (как и вектор угловой скорости). Единицей момента импульса является (кг∙м²∙с^-1). Рассмотрим частный случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При М=0, , откуда Iω=const. Пользуясь этим для тел в изолированной системе имеем: (18) , где и - моменты инерций и угловые скорости тел, составляющих изолированную систему. Эта формула выражает закон сохранения момента импульса.

В изолированной системе сумма моментов импульса всех тел – величина постоянная.

Для определения кинетической энергии W_к вращающегося тела с малой массой m_i. Вращается равномерно с угловой скоростью ω на расстоянии «r» от оси вращения. Поступаем следующим образом. Кинетическая энергия одной частицы , где - момент инерции частицы, ω – угловая скорость тела. Суммируя энергии всех частиц имеем: .

Работа, которую тело совершает за счет кинетической энергии вращения, равняется убыли последней (20), где ω₀ и ω – начальная и конечная угловой скорости вращения (роль кинетической энергии махового колеса). Очень часто тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях, тогда: (движение колес транспорта) (21), где m и I – масса и момент инерции тела, V и ω – его линейная и угловая скорости.