13.2 Цикл Карно

Различают прямой цикл, или цикл тепловой машины , и обратный цикл, или цикл холодильной машины. При круговом процессе мы получаем от системы работу за счет эквивалентной затраты тепла. После окончания цикла тело возвращается в свое первоначальное состояние, его внутренняя энергия не изменилась. Поэтому работа цикла может совершиться только за счет внешних источников, подводящих к рабочему телу теплоту. Без затрат невозможно получить работу. Механизм, позволяющий осуществить круговой процесс, т.е. переход тепла в механическую работу, называется тепловой машиной. (например паровая машина и двигатель внутреннего сгорания).

Сади Карно был предложен цикл идеальной тепловой машины. Рабочий цикл состоит из двух равновесных изотермических и двух равновесных адиабатических процессов. В машине отсутствуют всякие потери на теплопроводность, лучеиспускание, трение и т.д. С машиной связаны два больших резервуара: нагреватель (теплоотдатчик), имеющий температуру Т₁ и холодильник (теплоприемник), имеющий более низкую температуру Т₂. Резервуары имеют большую емкость, поэтому отдача или получение ими теплоты не изменяет их температуры. Рассмотрим работу этой идеальной тепловой машины (рис.39).

Машина состоит из цилиндра, заполненного рабочим веществом (идеал. газ). Поршень цилиндра может перемещаться вертикально. Прямой цикл состоит из четырех процессов:

1) изотермическое расширение газа от объема V₁ до объема V₂ при температуре Т₁;

2) адиабатическое расширение его до объема V₃ с понижением температуры до Т₂;

3) изотермическое сжатие его до объема V₄ при температуре Т₂;

Рисунок 39 4) адиабатическое сжатие его до объема V₁ и

начальной температуре Т₁.

На участке 1-2 газ совершил работу А₁ за счет полученной теплоты Q₁ и

(1)

На участке 2-3 – работу А^’ за счет своей внутренней энергии. На участке 3-4 внешние силы совершили работу А₂ и газ отдал часть теплоты холодильнику Q₂=A₂

(2)

и на участке 4-1, внешние силы совершили работу А^’’, повысив его внутреннюю энергию. Газ вернулся в исходное состояние, т.е. изменение внутренней энергии ∆U=0. Согласно первому началу термодинамики Q=∆U+A,

количество теплоты, полученное газом, совершает работу Q₁-Q₂=A₁+A^’-A₂-A^’’

т.к. |A^’|=|A^’’| - протекают при одинаковом интервале температуры.

Q₁-Q₂=A₁-A₂=А,

где А – суммарная работа (положительная). При адиабатическом процессе А= C_V(T₁-T₂),

тогда:

А= Q₁-Q₂ (3)

Тепловая машина не может все полученное количество теплоты целиком переводить в работу. Таким образом:

А<Q₁ (4)

Невозможен механизм, который все полученное от нагревателя количество теплоты целиком переводил бы в работу, часть этого количества теплоты должна быть отдана холодильнику. Это формулировка второго начала термодинамики. А формулы (3) и (4) – его математические выражения. Первое начало термодинамики устанавливает количественные соотношения между теплотой, работой и изменением ∆U, но он не определяет направления течения процессов, которые устанавливает второе начало термодинамики. Схема тепловой машины приведена на рис.40.

Нагреватель

Т₁

Холодильник

Т₂

Q₁ Q₂

А=Q₁-Q₂

Рисунок 40.

Воображаемый механизм, превращающий все количество теплоты в работу, называется вечным двигателем второго рода. Вечный двигатель второго рода невозможен – формулировка также второго начала термодинамики.

Обратный цикл Карно можно назвать холодильной машиной и он состоит из процессов

1) адиабатическое расширение от объема V₁, до объема V₄ с понижением температуры до Т₂;

2) изотермическое расширение от объема V₄ до объема V₃ при температуре Т₂;

3) адиабатическое сжатие от объема V₃ до объема V₂ с повышением температуры до Т₁;

4) изотермическое сжатие до объема V₁ при температуре Т₁;

При таком цикле холодильник отдает идеальному газу количество теплоты Q₂, а нагреватель получает количество теплоты Q₁. Таким образом происходит передача тепла от более холодного тела к более горячему.

Согласно Клаузиусу «теплота не может сама собой переходить от менее нагретого тела к более нагретому». (это одна из первых формулировок первого начала термодинамики). Т.е. для такого перехода теплоты требуется затрата работы внешнего источника, как это происходит в холодильной машине.

Кельвин (Томсон) «Невозможно построить тепловую машину, которая переводила бы в работу теплоту наиболее холодного из имеющихся в системе тел». Такой машиной была бы машина, превращающая в работу теплоту воды в океане. (Объем воды ~1370 млн. км³. 1500 лет. Вращать станки и машины для всего мира, понизив температуру на 0,1º)

Тепловую машину принято характеризовать коэффициентом полезного действия η (К.П.Д.), который определяется как отношение совершаемой за цикл работы А к полученному за цикл количеству теплоты Q₁ от нагревателя:

или (5).

Формулировка второго начала термодинамики: «К.П.Д. идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температуры нагревателя и холодильника».

Во всех машинах Q₂>0 т.е. η<1. Карно писал:» нельзя построить тепловую машину с К.П.Д., равным единице (100%). Если это можно было сделать, то был бы получен вечный двигатель второго рода (perpetuum mobile).

В случае, когда Q₂=0, то температуру рабочего тела нужно было бы довести до температуры абсолютного нуля, которую должен иметь холодильник., но реальные машины имеют в лучшем случае температуру холодильника порядка 100°С, т.е. 373°К. Поэтому К.П.Д. тепловых машин (лучших) не превышает 0,4-0,5 (некоторые типы двигателей внутреннего сгорания).

Формула К.П.Д. обратимого равновесного цикла Карно имеет вид:

(10).

В реальных процессах, осуществляющих тепловую машину, всегда имеются потери тепла на трение, теплопроводность и т.д., тогда

(11),

объединим оба выражения (10) и (11) в одно:

(12),

где знак равенства относится к случаю обратимого (равновесного) цикла, а знак неравенства – к случаю необратимого.

Выражение (12) приведем к виду:

или ; или .

Условимся количество теплоты, отданное телу нагревателем, считать положительным, а количество теплоты, отданное телом холодильнику – отрицательным, тогда

(13)

или в общем виде:

(14) – неравенство Клаузиуса.

Отношение количества переданной теплоты к абсолютной температуре, называется приведенной теплотой.

Неравенства (13) или (14) гласят: «при круговом процессе Карно сумма приведенных теплот не может быть больше нуля» (она <0 – для необратимого цикла (процесса) и 0 – для обратимого).

Рассмотрим произвольный круговой процесс, который можно разбить на весьма большое число элементарных циклов Карно. И неравенство Клаузиуса можно представить так:

.

суммируя для всего кругового процесса, получим:

(15)

знак ○ указывает, что сумма в (15) берется для всего кругового процесса. Это основное неравенство второго начала термодинамики Клаузиуса.

И для бесконечно узких циклов обратимого цикла Карно сумма заменяется (превращается) интегралом (это криволинейный интеграл)

(16).

Если криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то под интегралом стоит полный дифференциал функции.