Способы уменьшения ошибки измерения

Эти способы основаны на соображениях, вытекающих из следующих отношений. Если , то .

Например, необходимо измерить период колебания. Для этого целесообразно измерить продолжительность не одного колебания T, а продолжительность n колебаний: t = nT. Тогда период определится как . Измерив t с ошибкой t, получим . Определив период, найдем , откуда видно, что ошибка, допущенная при измерении, уменьшается в n раз. Чем большее число периодов мы отсчитаем, тем точнее определится продолжительность одного.

Аналогично, если необходимо измерить массу маленького шарика, а мы располагаем некоторым числом таких одинаковых шариков, то целесообразнее будет определить их общую массу, а затем поделить ее на число шариков. Также можно измерить диаметр проволоки, намотав несколько витков и измеряя общую длину намотанной части и т. п.

Некоторые правила приближенных вычислений

Все вычисления, производимые в лаборатории, являются приближенными, т. к. они проводятся с величинами, найденными с некоторой ошибкой. Для этого полезно знать некоторые правила операций с приближенными числами.

1. Бессмысленно вычислять какую-либо величину с точностью, большей, чем исходные данные.

2. Входящие в выражение константы могут быть вычислены с любой степенью точностью, поэтому за их исходное значение берется значение, соответствующее точности исходных данных и не увеличивающее суммарную ошибку.

3. При сложении и вычитании нескольких чисел в окончательном результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в наименее точном числе. (Значащими называются все цифры от 1 до 9, а также 0, если он стоит справа).

Пример: 2, 90 + 1, 457 - 1, 202 = 3, 15

4. При умножении и делении приближенных чисел в результате также сохраняется число значащих цифр, соответствующее числу с наименьшей точностью.

5. При возведении в степень приближенного числа в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число.

6. При извлечении корня результат вычисляется до стольких значащих цифр, сколько их у подкоренного выражения.

7. Если все указанные операции промежуточные, то в результате берут на одну значащую цифру больше. В конечном результате последняя цифра отбрасывается по правилам округления.

Графическое представление результатов

Если мы измеряем некоторую величину А и производим вычисления величины Z, которая зависит от А, то полученный результат может быть представлен не только таблицей, но и в наглядной графической форме. Обычно для этого используют декартову (прямоугольную) систему координат. Все графики должны вычерчиваться на миллиметровке.

При вычерчивании графиков нужно придерживаться следующих правил:

1) Осуществить выбор осей. В математике принято по оси абсцисс откладывать аргумент, по оси ординат – функцию. Аргумент и функция в математике определяются однозначно. В физике же часто график не является самоцелью, а служит промежуточным этапом в расчетах. Наиболее удобной для этого является линейная зависимость. Чтобы получить именно такую зависимость, аргумент часто заменяется какой-то его функцией (например, для перехода от гиперболической зависимости к прямой берется обратная величина). В некоторых случаях для лучшей интерпретации полученного результата или дальнейшего использования графика аргумент и функция могут поменяться местами.

2) Выбрать нуль. В физике при построении графиков точка пересечения осей не является абсолютом. Вблизи этой точки (или непосредственно в ней) по каждой оси откладывается возможный минимум величины. Вблизи края оси выбирается максимум.

3) Полученный промежуток разбивается на пропорциональные отрезки в соответствии с выбранным масштабом, причем положение максимума не обязательно должно точно совпадать с последним делением масштаба, а лишь находиться вблизи него. Масштаб по различным осям может быть различным: графическая зависимость должна максимально занимать отведенную для нее площадь.

4) Точка при построении физического графика является пересечением доверительных интервалов величин (см. Элементы теории погрешностей), то есть не является точкой в геометрическом смысле, а представляет собой крест, той или иной величины в зависимости от выбранного масштаба.

5) Вначале наносятся экспериментальные данные (точки – отрезки доверительных интервалов) и уже затем кривая, которая не обязательно должна проходить через каждую точку - отрезок доверительного интервала. Здесь возможны два случая: а) проверяется известная зависимость (прямая, синусоида, парабола и др.); б) необходимо определить имеющуюся между величинами зависимость. В случае а) можно дать положительный ответ о выполнении известной закономерности, если соответствующая кривая пересекает основную часть экспериментальных данных. В случае б) результирующая кривая должна лежать в полосе, образуемой доверительными интервалами величин.

6) Если Z функция не одного, а двух аргументов, то можно построить семейство графиков зависимости Z от одного аргумента, соответствующих постоянным значениям второго аргумента.

На Рис.3 представлен вид зависимости амплитуды затухающего колебания от времени. Здесь А=t (с), Z=a (см). Точками показаны полученные результаты, вертикальными отрезками – разброс в значении функции, горизонтальными – аргумента.

Если график представляет собой монотонную кривую, то частота расположения экспериментальных точек на ней может быть постоянной, если же график имеет экстремумы или точки пересечения, то вблизи них экспериментальные точки должны ложиться гуще, чтобы исследуемая зависимость могла быть представлена как можно точнее.

Имея в распоряжении график исследуемой функции, можно использовать его для определения некоторых параметров.

В процессе выполнения учебных, а в последствии и исследовательских работ необходимо научиться применять все рекомендации, разумно отбирая в каждом случае наиболее подходящий способ обработки результатов, правильно оценивая допускаемые ошибки и по возможности устраняя их источники.