1.1. Основные понятия теории графов

Изображение графа в виде точек и линий – это лишь наиболее наглядный способ их представления. Формально граф определяется так: граф – это пара объектов G = (V, E), где V – некоторое конечное множество, Е – отношение на V: E VV. V – множество вершин, E – множество ребер.

Ребро принято обозначать либо как элемент Е: e₁, …, e_m, e_j E, либо указанием его начальной и конечной вершины (v_i, v_j). Второе обозначение не всегда однозначно, например, в задаче о мостах обозначению (v₁, v₃) соответствуют два различных ребра.

Def. Графом без кратных ребер называется граф, в котором для любых i, j существует единственное ребро e_k = (v_i, v_j). Граф с кратными ребрами называется еще мультграфом.

Def. Пусть u, v – вершины, е = (u, v) – соединяющее их ребро. Тогда вершина u и ребро e инцидентны друг другу (также как и v и е). Два ребра, инцидентные одной вершине называются смежными. Две вершины, инцидентные одному ребру также называются смежными.

Вершины, инцидентные одному ребру, могут быть равноправными, т.е. записи (u, v) и (v, u) эквивалентны, а могут быть неравноправными, т.е. важен порядок записи. Направленные ребра называются дугами, а содержащий их граф – ориентированным (орграфом) Направленные ребра на рисунке снабжаются стрелками – от начала к концу. Граф, в котором все ребра не направлены, называется неориентированным. Ребро вида (v, v) называется петлей.

Def. Граф называется полным, если любые его две вершины смежны, E = V V. 0-граф – граф без ребер. Изолированная вершина – не смежная ни с одной другой вершиной.

Def. Дополнение графа , где = (VV) \ E.

Пример 1.1.

G

Свойства графов легко связать со свойствами соответствующих бинарных отношений, т.к. R и E означают одно и то же. Например:

R – симметрично  G – неориентированный;

R – асимметрично  G – ориентированный, без петель;

R – антисимметрично  G – ориентированный, с неориентированными петлями;

R – рефлексивно  G имеет петли;

отношению R^–1 соответствует граф с обратной ориентацией дуг;

соответствует и т.д.

Изоморфизм. При изображении графа в виде точек с линиями такие понятия, как длина или кривизна линий не важны. Главное – изобразить, какие именно пара вершин соединяет данное ребро. Например, на рис. Графы а) и б) одинаковы, а а) и в) совпадают с точностью до нумерации вершин и ребер.

V3

V2

V3

E3

E2

E3

E2

E1

E2

E1

V2

V1

E1

E3

V1

V3

V2

V1

а)

б)

в)

Такие графы называются изоморфными. Более строго:

Def. Пусть G = (V, E), H = (U, F) – графы. Пусть f : V  U – взаимно-однозначное отображение. Если для любых v, w  V их образы f(v) и f(w) смежны тогда и только тогда, когда смежны v и w, то f называется изоморфизмом G на H, а сами графы – изоморфными (обозначается G  H). Если f – тождественное отображение, то G = H.

Пример 1.2. G  H  I, а J и K не изоморфны.

3

2

1

5

1

1

5

4

2

2

6

6

5

4

3

4

3

6

I

G

H

J

K