Операции над множествами

Определим следующие операции.

1. Объединение. Пусть А и В - произвольные множества. Их объединением называется множество С = АВ, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

2. Пересечение. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов одновременно принадлежащих А и В. Обозначается так: C=AB.

3. Разность. Разность множеств А и В - это множество С (С=А\В), состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Если ВА, то разность С = А\В называется дополнением В до А. Иногда, говоря о некотором наборе множеств подразумевают, что все они включены в некоторое множество S, которое называют универсальным множеством. В этом случае дополнение какого-либо множества А до S обозначается С(А) или .

4. Симметричная разность. По определению симметричная разность двух множеств А и В - это множество

С = АВ = (А\В)(В\А).

Основные свойства операций.

1. Операции пересечения и объединения коммутативны (перестановочны): АВ = ВА; АВ = ВА.

2. Операции пересечения и объединения ассоциативны.

(АВ) С = А (ВС) = АВС

(АB) С = А (ВС) = АВС.

Свойствами коммутативности и ассоциативности обладают многие операции. Чтобы не создалось впечатления, что коммутативность и ассоциативность являются общими свойствами всех операций, приведем пример неассоциативной операции - возведение в степень. Имеем: (2³)² = 8² = 64; = 2⁸ = 512.

Пример некоммутативной операции - операция умножения матриц (АВВА).

3. Операции объединения и пересечения взаимно дистрибутивны.

Для вещественных чисел закон дистрибутивности читается так: а(в+с) = ав + ас. Для множеств закон дистрибутивности имеет вид:

а) (АВ)С = (АС)  (ВС)

б) (АB) С = (АС)  (ВС).

Докажем равенство а).

Предположим, что x (АВ) С, тогда xС и xА или xВ. Рассмотрим первый случай xС и xА. Тогда хАС, а значит, по определению объединения, х(АС)(ВС).

Во втором случае, т.е. при xС и xВ получаем, что x (ВС)(АС). Таким образом, мы доказали включение

[(АВ) С][(АС)(ВС)].

Докажем обратное включение. Пусть х(АС)(ВС), тогда хАС или хВС. В первом случае хА и хС. Во втором случае хВ и xС. В обоих случаях получаем, что хС и хА или хВ. Следовательно, х(АВ) С. Тем самым доказано включение (АС)(ВС)(АВ) С.

Таким образом, (АВ) С=(АС)(ВС), что и требовалось доказать.

Пусть А₁, А₂, . . . - некоторые множества и пусть все они включены в S (А₁, А₂, . . .  S). Тогда выполняются следующие соотношения.

4. - дополнение объединения множеств равно пересечению их дополнений.

5. - дополнение пересечения множеств равно объединению их дополнений.

Докажем свойство 4. Пусть х , тогда х значит, x не принадлежит ни одному из множеств A_k (k, хА_k), следовательно, по определению дополнения хS\А_k для любого k. Отсюда вытекает, что х .

Обратно, пусть х тогда этот элемент принадлежит каждому из множеств S \ A_k (k, хS\ A_k). Следовательно, хA_k для любого k, а, значит, х и поэтому х , что и требовалось доказать.