
- •Федеральное агентство по образованию
- •“Воронежская государственная технологическая академия”
- •Ю .В. Бугаев, и.Ю. Шурупова
- •Операции над множествами
- •Лекция № 2 Отображения
- •Мощность множества
- •Лекция № 3 Свойства счетных множеств
- •Множества мощности континуума и выше
- •Лекция № 4 нечеткие множества
- •Примеры записи нечеткого множества
- •Основные характеристики нечетких множеств
- •Примеры нечетких множеств
- •О методах построения функций принадлежности нечетких множеств
- •Операции над нечеткими множествами
- •Наглядное представление операций над нечеткими множествами
- •Свойства операций и .
- •Лекция № 5 Бинарные отношения и операции над ними
- •Свойства операций над отношениями
- •Способы задания бинарных отношений
- •Лекция № 6 Свойства бинарных отношений
- •Специальные бинарные отношения. Упорядочение и безразличие
- •Лекция № 7 Слабый порядок
- •Разбиение и эквивалентность
- •Качественный порядок
- •Лекция № 8 Функция выбора. Основные понятия
- •Классификация функций выбора
- •Задача векторной оптимизации
- •Лекция № 9 комбинаторные конфигурации и их приложения
- •1. Основные задачи, обозначения и правила
- •2. Простейшие конфигурации
- •2.6. Свойства чисел сочетаний
- •3. Комбинаторные конфигурации в алгебре и анализе
- •Лекция № 10 Комбинаторные алгоритмы
- •Аналитический аппарат комбинаторики
- •1. Принцип включения и исключения
- •1.2. Модификации формулы включения и исключения
- •Лекция № 11 Рекуррентные соотношения
- •4. Производящие функции
- •4.3. Пример использования производящих функций
- •5. Связь производящих функций с линейными рекуррентными соотношениями
- •Лекция № 12 теория грАфов Вводные понятия
- •1.1. Основные понятия теории графов
- •1.2. Машинное представление графа
- •Лекция № 13 Степени, маршруты, связность
- •2.1. Степени вершин графов
- •2.2. Маршруты и цепи
- •2.3. Связность
- •Лекция № 14 Алгоритмы обхода вершин в графах общего вида
- •Лекция № 15 Деревья Эквивалентные определения дерева
- •4.2. Остов
- •Лекция № 16 Специальные вершинные подмножества графа Определения вершинных подмножеств
- •5.2. Теоремы о вершинных подмножествах
2.6. Свойства чисел сочетаний
1.
=
.
Это свойство вытекает из формулы числа
сочетаний.
2.
=
+
.
Доказательство. Разобьем все r-сочетания на два класса. К первому классу отнесем сочетания, содержащие объект an, ко второму классу – не содержащие an. Так как в первом классе меняются только r – 1 элементов из n – 1 возможных, то он содержит r – 1-сочетания из n – 1-множества, следовательно, в нем элементов. Второй класс содержит все r-сочетания из n – 1-множества, т.к. в них нет одного элемента – an. Следовательно, в нем элементов. Общее число сочетаний, согласно правилу суммы равно + , что и требовалось доказать.
Данное
свойство позволяет легко построить
рекуррентный процесс вычисления всех
чисел сочетаний. Положим по определению
для любого n
0
(ноль
элементов из любого множества, в том
числе – пустого, можно выбрать 1 способом,
кроме того, по определению 0! = 1 – см.
формулу из 2.4) и
(отрицательное количество элементов
выбрать невозможно). Организуем двойной
цикл для вычисления всех
,
r
m
n:
for m := 1 to n do
for
r := 0 to m do
:=
+
Описанный процесс удобно представить в виде таблицы, называемой треугольником Паскаля:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…………………….
В таблице каждая m-я строка состоит из чисел , r = 0, … m, каждый элемент равен сумме двух элементов, расположенных над ним (пустое место считается нулем).
3.
Доказательство. Пусть имеем последовательность из n двоичных разрядов, содержащих 0 или 1. Очевидно, что каждую такую последовательность можно рассматривать, как n-размещение с повторениями из элементов 2-х типов, значит, количество этих размещений равно 2n.
Теперь рассмотрим некоторое множество из n объектов – а1, … аn, из которого будем образовывать все возможные сочетания без повторений, включая: 0-сочетания (не выбирается ни один объект), 1-сочетания и т.д., n-сочетания. При этом любую из упомянутых выше последовательностей из 0 и 1 можно интерпретировать, как перечень элементов, отбираемых в сочетание – если на k-м месте последовательности стоит 1 – элемент аk отобран, если 0 – не отобран. Очевидно, что таким образом будут перечислены все бинарные n-последова-тельности. По правилу суммы общее число таких сочетаний, а, значит – и бинарных последовательностей равно Свойство доказано.
Замечание. Каждая отбираемая в сочетание группа элементов представляет собой некоторое подмножество исходного множества из n объектов. Следовательно, число всех подмножеств (включая пустое) множества из n элементов равно 2n.
3. Комбинаторные конфигурации в алгебре и анализе
Многие важные формулы алгебры и математического анализа (и других разделов математики) имеют наглядную комбинаторную интерпретацию или доказываются с использованием правил комбинаторики.
3.1.
Бином Ньютона.
–
формула бинома
Ньютона.
В частности, (х + у)2
= х2
+ 2ху + у2;
(х + у)3
= х3
+ 3х2у
+ 3ху2
+ у3
и т.д.
Доказательство.
Раскроем скобки выражения (х + у)
n
= (x
+ y)(x
+ y)…(x
+ y).
В результате получим сумму членов вида
.
Например (х + у)
3
= ххх + хху + хух + хуу + ухх + уху + уух + ууу.
Приведем подобные члены, подсчитав
число таких произведений при каждом k
= 0,…, n.
Каждое такое выражение – не что иное,
как перестановка повторениями из 2-х
элементов. Полагая n1
= k,
n2
= n
– k,
получим, что число этих перестановок
равно Р(k,
n
– k)
=
(см. пп. 2.3, 2.4), т.е. множитель при хkуn
– k
совпадает с
,
что
и требовалось доказать.
С помощью формулы бинома легко получить новые свойства чисел сочетаний.
5.
.
Доказать легко с использованием бинома
Ньютона на основе тождества (1 – 1)n
= 0.
6.
.
Доказательство.
Имеем: n2n–1
= n(1
+ 1)n
–1
=
.
В свою очередь при любом р выполняется
равенство:
=
=
.
Следовательно,
.
Переобозначим индекс суммирования,
положив p
+ 1 = k.
Имеем:
,
что и требовалось доказать. В последнем равенстве формально введено равное нулю слагаемое при k = 0.
3.2. Полиномиальная формула. Формулу бинома можно обобщить на случай нескольких слагаемых: (х1 + х2 + … + хk)n.
Запишем
эту формулу в виде произведения одинаковых
сомножителей и перемножим. Получим все
возможные n-размещения
с повторениями из объектов х1,
х2
, … , хk.
Приведем подобные, сосчитав число
повторений каждого слагаемого вида
.
Для этого надо определить число слагаемых,
в которых символ х1
повторяется n1
раз, х2
– n2
раз, и т.д., хk
повторяется nk
раз. Каждое такое слагаемое – это
перестановка с повторением nj
раз элемента хj,
j
= 1,…k.
Число таких перестановок равно Р(n1,
n2
,…, nk),
nj
= n.
Следовательно
(х1
+ х2
+ … + хk)n
=
.
Выражение n1 + … + nk = n в значке суммы означает, что перебираются все (целые неотрицательные) значения n1,…, nk, удовлетворяющие данному условию.
Например: (x + y + z)4 = P(4, 0, 0)x4 + P(0, 4, 0)y4 + P(0, 0, 4)z4 + P(3, 1, 0)x3y + P(3, 0, 1)x3z + P(2, 2, 0)x2 y2 + P(2, 1, 1)x2 y z + P(2, 0, 2)x2 z2 + P(1, 3, 0)x y3 + P(1, 0, 3)x z3 + P(1, 1, 2)x y z2 + P(1, 2, 1)x y2 z + P(0, 3, 1)y3 z + P(0, 1, 3)y z3 + P(0, 2, 2)y2 z2.
Напоминаем,
что здесь Р(a,
b,
c)
=
,
например Р(2, 1, 1) =
= 12.
3.3. Ряд Ньютона. Формулу бинома можно обобщить на случай нецелой степени, в результате получим выражение:
(у
+ х)
= у
+
у–1х
+
+
… + +
+…
При целом значении формула содержит конечное число слагаемых, т.к. для k > коэффициенты при у–kхk обращаются в ноль. При нецелом получается бесконечный степенной ряд.