14. Асимметрия и эксцесс

Одно из наиболее важных свойств распределения частот- степень асимметрии. Практически точно симметричные полигоны частот и гистограммы почти никогда не встречаются. Степень асимметрии распределения частот для выборки называется просто его асимметрией. Графически – легко опознать асимметрию. Однако это не всегда возможно и удобно, поэтому есть стат хар-ки, оценивающие вид и степень асимметрии группы наблюдений.

А симметрия для группы= Σ(Хі – Хср.)^3/n/Sx³, либо после преобразований, это будет Zср.³, и обозначается она как корень из бетта.Своим существованием она обязана К. Пирсону.

А – имеет положительную асимметрию по расчетам. В – отрицательную, т.к. вел зед в кубе отрицательна. А – более выражена на рис.

Формула нормального распределения: (розподіл Ґауса) — розподіл ймовірностей випадкової величини, що характеризується густиною ймовірності

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Особливість: Якщо дискретні випадкові величини мають нормальний розподіл імовірностей, то їх сума   різниця також будуть нормально розподілені, а добуток величин не буде підпорядкований нормальному розподілу.

1. Э ксцесс – «остроконечности» кривой (в дословном переводе). К. Пирсон предложил его как метод оценки.

На рис. изображены: островершинная, плоская, промежуточная кривая.

Необходимо подчеркнуть, что понятие «эксцесс» применимо лишь к унимодальным распределениям и относится к крутизне кривой в окрестности единственной моды. Если распределение имеет 2 моды, то принято говорить об эксцессе кривой в окрестности каждой моды.

Формула: Σ(Хі – Хср.)^4/n/Sx⁴. Если величина 3 – то это В (рис.), нормальное распределение. Больше 3 – А, островершинное; если менее 3, то Б. Но не меньше нуля.

эксцесс замеряет "заостренность" кривой (положительный – заостренная кривая, отрицательный – "тупая").

Аддитивная шкала - англ. additive scale – шкала, для которой справедливо правило сложения, как для любых действительных чисел. Это означает, что субъективная величина ощущения в n единиц данной шкалы должна быть эквивалентна сумме субъективных ощущений любой суммарной комбинации единиц этой же шкалы, дающей равную ей сумму. Напр., излучение, характеризующееся на шкале светлот ощущением в 50 единиц, должно быть эквивалентно сумме ощущений в 30 единиц и 20 единиц, 25 и 25 единиц и т. д.

Выбросы. По определению, выбросы являются нетипичными, резко выделяющимися наблюдениями. Так как при построении прямой регрессии используется сумма квадратов расстояний наблюдаемых точек до прямой, то выбросы могут существенно повлиять на наклон прямой и, следовательно, на значение коэффициента корреляции. Поэтому единичный выброс (значение которого возводится в квадрат) способен существенно изменить наклон прямой и, следовательно, значение корреляции. Обычно считается, что выбросы представляют собой случайную ошибку, которую следует контролировать.