2)Метод Эйлера
Метод Эйлера – наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности.
Условия гладкости на правую часть, гарантирующее единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.
Геометрический метод Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [xk, xk+1] отрезком касательной, проведенной к графику решения в точке x.
Глобальная ошибка дискретизации метода Эйлера: E(h)=O(h).
Теорема (ошибка дискретизации метода Эйлера):
Если функция имеет ограниченную частную производную по второй и если решение задачи имеет ограниченную вторую производную, то глобальная ошибка дискретизации метода Эйлера E(h)=O(h).
Чтобы эта теорема была доказана полностью, следует доказать, что величина CN=(1+h M1)N ограничена при k→0.
3)Описать, что показывает эксперимент?
Пусть нам необходимо взвесить на весах три тела разной массы при условии, что нулевое положение весов не отрегулировано. При составлении плана эксперимента принято строить матрицу планирования. В таблице 1.1 приведен план первый план взвешивания. «1» и «-1» соответствуют наличию или отсутствию объекта на весах.
Таблица 1.1
№ опыта |
|
|
|
Результаты взвешивания |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
4 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
Эксперимент состоит из четырех опытов. При первом опыте снимаются показания пустых весов и выставляется их нулевое положение, затем отдельно взвешивается каждый из объектов. Расчет веса и погрешности измерений каждого из тел производится по следующим формулам:
;
;
; (1.3.1)
.
Поскольку погрешности независимых измерений складываются, а вес каждого объекта получен в результате двух измерений, погрешность составляет .
Оптимально будет провести эксперимент по схеме, показанной в Таблице 1.2. В этом случае взвешивается отдельно каждый из объектов и все объекты вместе. Непосредственное измерение погрешности не проводят.
Экзаменационный билет № 11
1)Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.
Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.