Экзаменационный билет № 25

1) Методы Рунге — Кутта – важное семейство численных алгоритмов решения дифференциальных уравнений. Данные интегральные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1090 г. Немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально методами Рунге-Кутты являются модифицированный и исправленный метод Эйлера. Они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения.

Наиболее часто используется и реализовано в различных математических пакетах (maple, maxima, mathcad) стандартная схема четвертого порядка.

Иногда при выполнении расчетов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядка.

2) Математические и статистические системы.

КМ можно произвести с помощью различных языков программирования, специальных программ, а также с помощью математических и статистических систем. К математическим системам относятся следующие программы: Derive, Mathematica, MATLAB, Maple V, MathCAD.

Достоинством программы Derive является ее компактность, возможность работы с компьютерной алгеброй. Mathematica – создана для математиков, занимает много места, подходит для очень сложных расчетов. Система MATLAB – матричная лаборатория, хорошие библиотеки, адаптируется под пользователя и его задачи, комплектуется пакетом SIMULINK. Пакет Maple V является универсальным математическим пакетом, с его помощью можно решать задачи аналитически точно или численно приближенно. Система MathCAD естественно вписалась в систему WINDOWS.

3) Приведем классический простейший пример планирования эксперимента. Пусть нам необходимо взвесить на весах три тела разной массы при условии, что нулевое положение весов не отрегулировано. При составлении плана эксперимента принято строить матрицу планирования. В таблице 1.1 приведен план первый план взвешивания. «1» и «-1» соответствуют наличию или отсутствию объекта на весах.

Таблица 1.1

№ опыта				Результаты взвешивания
1	-1	-1	-1
2	+1	-1	-1
3	-1	+1	-1
4	-1	-1	+1

Эксперимент состоит из четырех опытов. При первом опыте снимаются показания пустых весов и выставляется их нулевое положение, затем отдельно взвешивается каждый из объектов. Расчет веса и погрешности измерений каждого из тел производится по следующим формулам:

;

;

; (1.3.1)

.

Поскольку погрешности независимых измерений складываются, а вес каждого объекта получен в результате двух измерений, погрешность составляет .

Оптимально будет провести эксперимент по схеме, показанной в Таблице 1.2. В этом случае взвешивается отдельно каждый из объектов и все объекты вместе. Непосредственное измерение погрешности не проводят.

В этом случае выигрыш при проведении эксперимента заключается в том, что масса каждого из объектов вычисляется по формулам (1.3.2) , а дисперсия результатов оказывается вдвое меньше. Этот результат получается за счет того, что при втором плане эксперимента смещение нуля измерительной аппаратуры (весов) исключено.

Таблица 1.2

№ опыта				Результаты взвешивания
1	+1	-1	-1
2	-1	+1	-1
3	-1	-1	+1
4	+1	+1	+1

;

;

; (1.3.2)

;

.