2) Требуется оценить точность решения примера 1 при .

Решение. В условиях этого примера имеем n=6.

=21/6=3,5,

s_x²=91/6-(3,5)²=2,9.)

Из уравнений (20), (23) и (25) находим

Отсюда находим

= 0,072 при x=1 и 6,

= 0,041 при x=3,5.

3) Выбор лучшей мм экзаменационный билет № 22

1)Статистическая система statgraphics Пользовательский интерфейс. Достоинства системы

Наиболее распространенные в данный момент статистические пакеты STATGRAPHICS PUS for WINDOWS 1.0 – один из лучших статистических пакетов ПО для ПК.

Данный пакет содержит практически все известные методы обработки статистических данных. Однако есть и недостатки. Функциональные возможности системы обеспечивают реализацию всех основных функций, применяемых для статистического анализа, таких как регрессии, описательной статистики и т. д, плюс богатый выбор разновидностей предварительных и готовых графиков и т. д.

Средства составления отчета содержат неадекватный механизм для совмещения текста и графики.

2)Однофакторный, многофакторный эксперимент

Однофакторный пассивный эксперимент проводится путем выполнения n-пар измерений в дискретные моменты времени единственного входного параметра x и соответствующих значений выходного параметра y.

Целью однофакторного пассивного эксперимента является построение регрессионной модели – установление зависимости y=f(x).

Переменную x принятой называть факторной. Теория планируемого эксперимента изучает только активный тип эксперимента, когда имеется возможность независимо и целенаправленно менять значения факторов x во всем требуемом диапазоне.

Факторы в эксперименте бывают качественными и количественными.

Качественные факторы можно квантифицировать или приписать им числовые обозначения, тем самым перейти к количественным значениям.

Переменным y можно сопоставить геометрическое понятие факторного пространства – пространства, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Совокупность конкретных значений всех факторов образуют точку в многомерном факторном пространстве.

Примеры факторов: интенсивность потока запросов к БД, скорость передачи данных по каналу, объем ЗУ и т. д.

Кроме того на объект воздействуют возмущающие факторы. Они являются случайными и не поддаются управлению.

Многофакторный пассивный эксперимент проводится при контроле значений нескольких входных параметров x_i и его целью является установление зависимости выходного параметра от двух и более переменных y=F(x₁, x₂, …, x_i).

Полный факторный эксперимент предполагает возможность управлять объектом по одному или нескольким независимым каналам

3) Проанализируйте и опишите, как метод Эйлера отличается от метода Рунге-Кутгы.

Семейство методов Рунге-Кутта.

Анализ метода Эйлера показывает, что глобальная ошибка дискретизации есть O(h). Это обычно выражают утверждением, что метод Эйлера имеет первый порядок. Практическим следствием этого факта является ожидание того, что при уменьшении h приближённое решение будет всё более точным и при стремлении h к нулю будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h; т.е. мы ожидаем, что при уменьшении шага h вдвое ошибка уменьшится примерно в два раза.

Очень медленная сходимость при уменьшении h характерна для методов первого порядка и служит препятствием для их использования. Как пример одного из подходов к построению методов, погрешность которых при стремлении h к нулю убывает с более высокой скоростью, мы рассмотрим Метод Хьюна, определяемый формулой

yk+1 =yk + h[f(xk ,yk ) + f(xk+1 ,yk + h f(xk ,yk ))]

(1)

Обратите внимание, что мы просто заменили f(xk ,yk ) в методе Эйлера на среднее значение функции f, вычисленных в двух различных точках. Метод Хьюна известен также как метод Рунге-Кутта второго порядка и, как мы вскоре покажем, имеет локальную ошибку дискретизации O(h2 ). Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод четвёртого порядка, задаваемый формулой

yk+1 =yk + h(F1 +2F2 +2F3 + F4 )/6

(2)

где

F1 = f(xk ,yk ) , F2 = f(xk + h/2 , yk + h F1 /2) ,

F3 = f(xk + h/2 , yk + h F2 /2) ,

F4 = f(xk + h , yk + h F3 ).

Здесь f(xk ,yk ) в методе Эйлера заменено на среднее взвешенное значение f, вычисленных в четырёх различных точках.

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка является одношаговым, также как и метод Эйлера, который иногда называют методом Рунге-Кутта первого порядка. Все такие методы могут быть представлены в общем виде как

yk+1 =yk + h g(xk ,yk )

(3)

с соответствующей функцией g. В случае метода Эйлера функцией g является сама f, в то время как для метода Хьюна

g(x,y)= [f(x,y)+ f(x+h, y+hf(x,y))]

(4)

Соответствующая функция для метода Рунге-Кутта четвёртого порядка может быть записана в виде, аналогичном (4).

Для любого одношагового метода (3) определим локальную ошибку дискретизации аналогично методу Эйлера соотношением

L(h)= maxa x b-h |L(x,h)| L(x,h)= [y(x+h)-y(x)]/h - g(x,y(x))

(5)

где y(x) -точное решение дифференциального уравнения. Если для данной функции g окажется, что L(h)=O(h p ) при некотором целом p, то при соответствующих предположениях относительно функций g и f можно показать, что глобальная ошибка дискретизации будет также порядка p по h , т.е.

E(h) = max1 k N | yk -y(xk)|= O(h p )

(6)

Порядок метода (3) определяется как целое p, для которого такое определение порядка является некоторым утверждением о свойствах самого метода. При этом предполагается, что решение дифференциального уравнения y имеет ограниченные производные до определённого порядка. Например, для метода Эйлера p=1 в предположении max_{a x b} y''(x) = M. Для других методов может потребоваться ограниченность производных решения и функции f более высокого порядка.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 23

1)Планирование эксперимента. После завершения этапа оценки пригодности модели необходимо осуществить прогон (реализацию) модели с целью получения желаемой информации. Результаты моделирования, полученные при воспроизведении единственной реализации процесса, описываемого моделью в силу действия случайных факторов, не могут объективно характеризовать процесс функционирования модели. Поэтому искомые величины при исследовании процессов методом компьютерного моделирования получают как средние значения по данным большого числа реализаций процесса. Исключение составляют так называемые эргодические процессы, для которых искомые величины можно получить усреднением по времени результатов единственной реализации процесса.

Если количество реализаций N достаточно велико, то, в силу закона больших чисел, получаемые оценки становятся устойчивыми и могут служить приближенными значениями искомых случайных величин.