3) Создайте и опишите с помощью рисунка геометрический смысл метода Эйлера

Геометрический метод Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [x_k, x_k+1] отрезком касательной, проведенной к графику решения в точке x.

Экзаменационный билет № 4

1)Уровни моделирования

Микроуровень, макроуровень и метауровень моделирования.

Метауровень моделирования – совокупность моделей предназначенные для описания крупномасштабных объектов исследования. Размеры объектов исследования на метауровне существенно превосходят размеры человека.

На метауровне моделируются, например, процесс развития Вселенной, эволюция звезд и планетных систем, работа глобальных вычислительных сетей, международных вычислительных сетей.

Макроуровень моделирования – совокупность моделей предназначенных для описания объектов исследования размеры, которых сопоставимы с размером человека. На макроуровне моделируется, например радиоэлектронная аппаратура, автомобили, здания.

Микроуровень моделирования – совокупность моделей предназначенных для описания объектов исследования размеры, которых много меньше размеров человека.

На этом уровне рассматриваются поля напряжения и деформации в деталях металлических конструкций, электромагнитные поля в электропроводящих средах, поля температур нагретых деталей.

2) Типы информационных моделей

Можно выделить несколько типов информационных моделей, отличающихся по характеру запросов к ним. Перечислим лишь некоторые из них:

• Моделирование отклика системы на внешнее воздействие

• Классификация внутренних состояний системы

• Прогноз динамики изменения системы

• Оценка полноты описания системы и сравнительная информационная значимость параметров системы

• Оптимизация параметров системы по отношению к заданной функции ценности

• Адаптивное управление системой

3) Требуется оценить точность решения примера 1 при .

Решение. В условиях этого примера имеем n=6.

=21/6=3,5,

s_x²=91/6-(3,5)²=2,9.)

Отсюда находим

= 0,072 при x=1 и 6,

= 0,041 при x=3,5.

Экзаменационный билет № 5

1)Язык моделирования виртуальной реальности (VRML ) является языком моделирования, который поддерживает трехмерные образы и трехмерный текст. Используя отдельный VRML-браузер или же вспомогательную программу просмотра VRML - документов, добавленную к обычному Web-браузеру, можно просматривать трехмерную сцену, называемую также "миром". VRML - сцена представляет собой просто совокупность трехмерных образов, которые вы видите с помощью вашего браузера. В рамках сцены, например такой, как образ дома, создатель сцены может позволить прогуливаться по дому, переходя из одной трехмерной комнаты в другую.

Связь между HTML и VRML Между ними однако много общего. VRML поддерживает гиперсвязи точно так же, как и HTML. Движение с одного узла на другой называется teleporting - телепортация. Используя спец. броузер, можно загрузить и посмотреть VRML-документ. Однако имея много общего, они существенно различаются.

VRML поддерживает как трехмерные образы, так и трехмерный текст

2)Сплайн-интерполяция

Сплайн (от анг. слова spline – планка, рейка) – агрессивная функция, также агрегатная, совпадающая с функциями более простой природы, на каждом элементе разбиения своей области определения.

Классический сплайн одной переменной строится так: область определения разбивается на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим полиномом.

Степень сплайна – максимальная степень из использованных полиномов.

Дефект сплайна – разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью.

Сплайны имеют многочисленные применения, как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах КМ.

Интерполяция – способ нахождения промежуточных значений величины по именующимся и имеющимся дискретному набору известных значений.

3) Проанализируйте и опишите, как метод Эйлера отличается от метода Рунге-Кутгы.

Семейство методов Рунге-Кутта.

Анализ метода Эйлера показывает, что глобальная ошибка дискретизации есть O(h). Это обычно выражают утверждением, что метод Эйлера имеет первый порядок. Практическим следствием этого факта является ожидание того, что при уменьшении h приближённое решение будет всё более точным и при стремлении h к нулю будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h; т.е. мы ожидаем, что при уменьшении шага h вдвое ошибка уменьшится примерно в два раза.

Очень медленная сходимость при уменьшении h характерна для методов первого порядка и служит препятствием для их использования. Как пример одного из подходов к построению методов, погрешность которых при стремлении h к нулю убывает с более высокой скоростью, мы рассмотрим Метод Хьюна, определяемый формулой

yk+1 =yk + h[f(xk ,yk ) + f(xk+1 ,yk + h f(xk ,yk ))]

(1)

Обратите внимание, что мы просто заменили f(xk ,yk ) в методе Эйлера на среднее значение функции f, вычисленных в двух различных точках. Метод Хьюна известен также как метод Рунге-Кутта второго порядка и, как мы вскоре покажем, имеет локальную ошибку дискретизации O(h2 ). Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод четвёртого порядка, задаваемый формулой

yk+1 =yk + h(F1 +2F2 +2F3 + F4 )/6

(2)

где

F1 = f(xk ,yk ) , F2 = f(xk + h/2 , yk + h F1 /2) ,

F3 = f(xk + h/2 , yk + h F2 /2) ,

F4 = f(xk + h , yk + h F3 ).

Здесь f(xk ,yk ) в методе Эйлера заменено на среднее взвешенное значение f, вычисленных в четырёх различных точках.

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка является одношаговым, также как и метод Эйлера, который иногда называют методом Рунге-Кутта первого порядка. Все такие методы могут быть представлены в общем виде как

yk+1 =yk + h g(xk ,yk )

(3)

с соответствующей функцией g. В случае метода Эйлера функцией g является сама f, в то время как для метода Хьюна

g(x,y)= [f(x,y)+ f(x+h, y+hf(x,y))]

(4)

Соответствующая функция для метода Рунге-Кутта четвёртого порядка может быть записана в виде, аналогичном (4).

Для любого одношагового метода (3) определим локальную ошибку дискретизации аналогично методу Эйлера соотношением

L(h)= maxa x b-h |L(x,h)| L(x,h)= [y(x+h)-y(x)]/h - g(x,y(x))

(5)

где y(x) -точное решение дифференциального уравнения. Если для данной функции g окажется, что L(h)=O(h p ) при некотором целом p, то при соответствующих предположениях относительно функций g и f можно показать, что глобальная ошибка дискретизации будет также порядка p по h , т.е.

E(h) = max1 k N | yk -y(xk)|= O(h p )

(6)

Порядок метода (3) определяется как целое p, для которого такое определение порядка является некоторым утверждением о свойствах самого метода. При этом предполагается, что решение дифференциального уравнения y имеет ограниченные производные до определённого порядка. Например, для метода Эйлера p=1 в предположении max_{a x b} y''(x) = M. Для других методов может потребоваться ограниченность производных решения и функции f более высокого порядка.