3)Найти прямую (2) по методу наименьших квадратов.

Решение. Находим:

x_i=21, y_i=46,3, x_i²=91, x_iy_i=179,1.

Записываем уравнения (8) и (9)

91a+21b=179,1, 21a+6b=46,3, отсюда находим a=0,98 b=4,3.

Требуется оценить точность решения примера 1 при .

Решение. В условиях этого примера имеем n=6.

=21/6=3,5,

s_x²=91/6-(3,5)²=2,9.)

Из уравнений (20), (23) и (25) находим

Отсюда находим

= 0,072 при x=1 и 6,

= 0,041 при x=3,5.

Экзаменационный билет № 18

1)Типы информационных моделей

Можно выделить несколько типов информационных моделей, отличающихся по характеру запросов к ним. Перечислим лишь некоторые из них:

• Моделирование отклика системы на внешнее воздействие

• Классификация внутренних состояний системы

• Прогноз динамики изменения системы

• Оценка полноты описания системы и сравнительная информационная значимость параметров системы

• Оптимизация параметров системы по отношению к заданной функции ценности

• Адаптивное управление системой

В этом разделе изложение будет основываться на моделях первого из указанных типов.

Пусть X - вектор, компоненты которого соответствуют количественным свойствам системы, X' - вектор количественных свойств внешних воздействий. Отклик системы может быть описан некоторой (неизвестной) вектор-функцией  F:  Y = F(X,X'), где Y - вектор отклика. Задачей моделирования является идентификация системы, состоящая в нахождении функционального отношения, алгоритма или системы правил в общей форме Z=G(X,X'), ассоциирующей каждую пару векторов (X,X') с вектором Z таким образом, что Z и Y близки в некоторой метрике, отражающей цели моделирования. Отношение Z=G(X,X'), воспроизводящее в указанном смысле функционирование системы F, будем называть информационной моделью системы F

2) Интерполяция методом Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа – многочлен минимальной степени, принимающий данные значение в данном наборе точек.

Для n+1пар чисел (x₀y₀, x₁x₂,…, x_ny_n), где x_i различны и существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_i)=y_i. В простейшем случае (n=1) – это линейный многочлен, график которого прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

l_j(x) обладают следующими свойствами:

4. Являются многочленами степени n;

5. l_j(x_j) = 1;

6. l_j(x_i) = 0 при i≠j.

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация lj(x), может иметь степень не больше n, и L(xj) = yj, Q.E.D.

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5),

(-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы y_j l_j(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x_i.

3) Приведите простой пример использования метода Эйлера.

Метод Эйлера— наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление», том 1, раздел 2, гл. 7. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция f определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале [x0,b). На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах xi, которое обозначим через yi определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция f непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной y в D, то имеет место следующая оценка погрешности

где h — средний шаг, то есть существует C > 0 такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.