Экзаменационный билет № 26

1) Языки и системы моделирования

UML (сокращенно от английского Unified Modeling Language) – модифицированный язык, язык графического описания для объектного моделирования в области разработки ПО. UML является языком широкого профиля – это открытый стандарт, использующий графические обозначения для создания абстрактной модели системы – UML-модели. Он был создан для определения визуализации, проектирования и документирования в основном программных систем, не является языком программирования, но в средствах выполнения UML-моделей возможно изменение кода.

Использование

Не ограничивается моделированием ПО. Использует для моделирования бизнес-процессов, системного проектирования и отображения организационных структур. UML позволяется также разработчикам ПО достигнуть соглашения в графических обозначениях для представления общих понятий (например: компонент, объединение, класс и другие) и больше сконцентрироваться на проектировании и архитектуре.

2) Метод Эйлера– наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности.

Условия гладкости на правую часть, гарантирующее единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Геометрический метод Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке [x_k, x_k+1] отрезком касательной, проведенной к графику решения в точке x.

Глобальная ошибка дискретизации метода Эйлера: E(h)=O(h).

Теорема (ошибка дискретизации метода Эйлера):

Если функция имеет ограниченную частную производную по второй и если решение задачи имеет ограниченную вторую производную, то глобальная ошибка дискретизации метода Эйлера E(h)=O(h).

Чтобы эта теорема была доказана полностью, следует доказать, что величина C^N=(1+h M₁)^N ограничена при k→0.

3) Проанализируйте и опишите, как метод Эйлера отличается от метода Рунге-Кутгы.

Семейство методов Рунге-Кутта.

Анализ метода Эйлера показывает, что глобальная ошибка дискретизации есть O(h). Это обычно выражают утверждением, что метод Эйлера имеет первый порядок. Практическим следствием этого факта является ожидание того, что при уменьшении h приближённое решение будет всё более точным и при стремлении h к нулю будет сходиться к точному решению с линейной скоростью по h; т.е. мы ожидаем, что при уменьшении шага h вдвое ошибка уменьшится примерно в два раза.

Очень медленная сходимость при уменьшении h характерна для методов первого порядка и служит препятствием для их использования. Как пример одного из подходов к построению методов, погрешность которых при стремлении h к нулю убывает с более высокой скоростью, мы рассмотрим Метод Хьюна, определяемый формулой

yk+1 =yk + h[f(xk ,yk ) + f(xk+1 ,yk + h f(xk ,yk ))]

(1)

Обратите внимание, что мы просто заменили f(xk ,yk ) в методе Эйлера на среднее значение функции f, вычисленных в двух различных точках. Метод Хьюна известен также как метод Рунге-Кутта второго порядка и, как мы вскоре покажем, имеет локальную ошибку дискретизации O(h2 ). Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод четвёртого порядка, задаваемый формулой

yk+1 =yk + h(F1 +2F2 +2F3 + F4 )/6

(2)

где

F1 = f(xk ,yk ) , F2 = f(xk + h/2 , yk + h F1 /2) ,

F3 = f(xk + h/2 , yk + h F2 /2) ,

F4 = f(xk + h , yk + h F3 ).

Здесь f(xk ,yk ) в методе Эйлера заменено на среднее взвешенное значение f, вычисленных в четырёх различных точках.

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка является одношаговым, также как и метод Эйлера, который иногда называют методом Рунге-Кутта первого порядка. Все такие методы могут быть представлены в общем виде как

yk+1 =yk + h g(xk ,yk )

(3)

с соответствующей функцией g. В случае метода Эйлера функцией g является сама f, в то время как для метода Хьюна

g(x,y)= [f(x,y)+ f(x+h, y+hf(x,y))]

(4)

Соответствующая функция для метода Рунге-Кутта четвёртого порядка может быть записана в виде, аналогичном (4).

Для любого одношагового метода (3) определим локальную ошибку дискретизации аналогично методу Эйлера соотношением

L(h)= maxa x b-h |L(x,h)| L(x,h)= [y(x+h)-y(x)]/h - g(x,y(x))

(5)

где y(x) -точное решение дифференциального уравнения. Если для данной функции g окажется, что L(h)=O(h p ) при некотором целом p, то при соответствующих предположениях относительно функций g и f можно показать, что глобальная ошибка дискретизации будет также порядка p по h , т.е.

E(h) = max1 k N | yk -y(xk)|= O(h p )

(6)

Порядок метода (3) определяется как целое p, для которого такое определение порядка является некоторым утверждением о свойствах самого метода. При этом предполагается, что решение дифференциального уравнения y имеет ограниченные производные до определённого порядка. Например, для метода Эйлера p=1 в предположении max_{a x b} y''(x) = M. Для других методов может потребоваться ограниченность производных решения и функции f более высокого порядка.