Тема 5. Узагальнюючі статистичні показники

Основні поняття та категорії:

• абсолютні величини;

• відносні величини:

• динаміки;

• інтенсивності;

• координації;

• планового завдання;

• порівняння;

• структури;

• статистичний показник;

• натуральні одиниці виміру;

• умовно-натуральні одиниці;

• середні величини;

• середня:

арифметична (проста, зважена);

гармонічна;

геометрична;

хронологічна;

квадратична;

прогресивна;

• медіана;

• мода;

• зважування;

• структурні середні.

Методичні вказівки:

Дані про розміри та кількісні співвідношення соціально-економічних явищ подаються за допомогою статистичних показників.

Статистичний показник – це міра, тобто єдність якісного і кількісного відображення певної властивості соціально-економічного явища чи процесу.

За способом обчислення розрізняють первинні та похідні показники:

первинні – визначаються шляхом зведення та групування даних і подаються у формі абсолютних величин;

похідні – обчислюються на базі первинних або вторинних показників і мають форму середніх та відносних величин.

За ознакою часу показники поділяються на інтервальні та моменті:

Інтервальні – характеризують явище за певний час (день, місяць, рік...).

До моментних – відносять показники, які характеризують явище на певний момент часу: залишок обігових коштів на початок місяця і т.д.

Статистичні величини, що виражають розміри (обсяг, рівень) суспільних явищ у одиницях ваги, довжини, площини, вартості тощо і відповідають на запитання „скільки?” називаються „абсолютними величинами”.

Абсолютні величини – завжди числа іменовані, тобто кожна з них має свою одиницю вимірювання: штуки, тонни, кіловати, гривні тощо.

Залежно від мети дослідження та сутності досліджуваного явища застосовують натуральні, умовно-натуральні, комбіновані, трудові та вартісні одиниці.

Натуральними називаються одиниці виміру, які виражають розмір речей.

При необхідності звести воєдино кілька різновидів однієї споживчої властивості – за допомогою спеціальних коефіцієнтів-сумірників, обсяги такого явища виражають в умовно-натуральних одиницях.

Приклад.

Методика перерахунку в умовно-натуральні одиниці виміру.

Консервний завод з переробки овочів і фруктів за рік випустив продукцію у банках різної ємності.

Обсяг випущеної продукції

Ємність, см3	100	250	400
Випущено банок, тис. штук	1000	1200	1500

Використовуючи дані таблиці необхідно визначити загальне виробництво в умовних банках, якщо за умовну одиницю прийняти банки 400 см³.

Для цього:

1) Обчислимо коефіцієнт перерахунку:

100	= 0,25;	250	= 0,625
400		400

2) Перерахуємо обсяг вробленої продукції в умовних банках:

1000*0,25 + 1200*0,625 + 1500 = 250 + 750 + 1500 = 2500 умов. банок

Відносні величини – характеризують кількісні співвідношення різнойменних та однойменних показників.

Відносна величина показує, у скільки разів порівнювана величина перевищує базисну або яку частку перша становить щодо другої, іноді – скільки одиниць однієї величини припадає 100, на 1000 і т.д. одиниць (базисної) величини.

Словесна формула відносної величини:

Відносна величина =	величина, яку порівнюють (порівнювана величина)
	величина, з якою порівнюють (база порівняння)

Відповідно до аналітичних функцій відносних величин класифікують:

• відносна величина динаміки;

• планового завдання;

• виконання плану;

• структури;

• координації;

• порівняння;

• інтенсивності.

Відносна величина динаміки – характеризує ступінь зміни абсолютного або середнього рівня явища у звітному періоді у порівнянні з базисним.

Якщо відносні величини обчислюються до якогось одного періоду, то вони називаються базисними:

Кр =	уп
	Уо

де: К_р – коефіцієнт росту (динаміки);

У_п – рівень звітного періоду;

У_о – рівень базисного періоду.

Якщо відносні величини обчислені до попереднього періоду, то вони називаються ланцюговими:

Кр =	уп
	Уп-1

де: У_п-1 – рівень попереднього періоду;

Відносна величина планового завдання – характеризує відношення планового рівня на наступний період до фактичного рівня аналогічного показника попереднього періоду.

Кп.з. =	упл
	Уо

де: У_пл – плановий рівень;

У_о – фактичний рівень базисного (попереднього) року.

Відносна величина виконання плану – показує, у скільки разів фактична величина того чи іншого показника перевищує або менша за його планову величину, тобто діленням фактичного рівня на запланований.

Квп =	уфакт
	Упл

Відносна величина структури характеризує склад сукупності, питому вагу складових частин цілого в їх загальному підсумку.

Відносні величини структури називають частками, сума їх становить 1 або 100%.

Відносна величина координації характеризує співвідношення частин досліджуваної сукупності і показують, скільки одиниць однієї частини сукупності припадає на 1 або 100 одиниць іншої.

Відносна величина порівнянь – це результат відношення однойменних абсолютних величин, що належать різним об’єктам за один і той же час.

Відносна величина інтенсивності - характеризує ступінь поширення явища або ступінь насиченості досліджуваним явищем первинного середовища.

Обчислюється як відношення величини досліджуваного явища до обсягу того середовища, у якому розвивається явище.

Середня величина – це узагальнююча міра варіюючої ознаки, що характеризує її рівень у розрахунку на одиницю сукупності.

Умовами застосування середніх величин є: наявність якісно однорідної сукупності та достатньо великий її обсяг.

Застосовуються різні види середніх величин: середня арифметична, гармонійна, квадратична, геометрична.

Вид середньої обирається на підставі логічної формули.

Середня арифметична – використовується для осереднення прямих значень ознак шляхом їх підсумування.

Логічна формула середньої має вигляд:

=	обсяг значень ознаки
	обсяг сукупності

Середня арифметична проста застосовується в тому випадку, коли всі варіанти зустрічаються по одному разу;

=	∑ хі	=	х1 + х2 + х3 +...+хn
	n		n

де: - середня арифметична;

х₁;х₂ ...х_n – варіанти;

n – число варіантів;

∑ - знак суми.

Приклад 1.

Відомо, що тарифний розряд робітників бригади, яка складається з 8 чоловік, складає: 3; 4; 5; 3; 4; 5; 4; 4. Розрахувати середній рівень кваліфікації робітників.

Отже,

=	3 + 4 + 5 + 3 + 4 + 5 + 4 + 4	=	32	=	4
	8		8

Середня арифметична зважена застосовується в тому випадку, коли варіанти мають різну вагу в сукупності.

Множення варіантів на частоти, тобто на числа, що показують скільки разів зустрічається даний варіант називається зважуванням.

Формула середньої арифметичної зваженої:

=	x1f1 + x2f2 + x3f3 +…+ xnfn	=	∑ xifi
	f1 + f2 + f3 +…+ fn		∑ fi

де: f_i – вага, частота.

Приклад 2.

Відомі слідуючи дані про розподіл 60 робітників за тарифним розрядом:

Тарифний розряд хі	2	3	4	5	6
Число робітників fi	8	16	17	12	7

Визначити середній тарифний розряд робочих.

Отже,

=	∑ xifi	=	2×8 + 3×16 + 4×17 + 5×12 + 6×7	=	234	=	3,9
	∑ fi		8 + 16 + 17 + 12 + 7		60

Для інтервального ряду, спочатку находять середину кожного інтервалу, а потім останні перемножують на частоти, добуток сумують і ділять на суму частот.

Приклад 3.

Потрібно визначити середньотижневу заробітну плату одного робітника, якщо відомі дані:

Середньотижнева заробітна плата, грн.	Число робітників fi	Середина інтервалу хі	xіfі
400 – 500	10	450	4500
500 – 600	20	550	11000
600 – 700	48	650	31200
700 – 800	60	750	45000
Всього	138	-	91700

Звідси,

=	∑ xifi	=	91700	≈	664,50 (грн.)
	∑ fi		138

У тих випадках коли є дані про варіанти та загальний обсяг ознак (добуток варіант на частоту), але відсутні частоти. у цьому випадку застосовується середня гармонійна проста

=	n
	∑ 1/xi

Приклад 4.

Відомі дані по 5 господарствам про врожайність зернових і валовий збір:

Господарство	Врожайність зернових, ц/га, хі	Валовий збір зерна, ц
1	18	18000
2	20	30000
3	21	63000
4	22	44000
5	25	30000
∑	-	185000

Розрахувати середню врожайність для всіх господарств. Для рішення цієї задачі потрібно валовий збір всіх господарств розділити на загальну площу, яку розраховують шляхом ділення валового збору на врожайність.

=	18000 + 30000 + 63000 + 44000 + 30000									=	185000	=	21,26 (ц/га)
	18000	+	30000	+	63000	+	44000	+	30000		8700
	18		20		21		22		25

Середня гармонійна зважена –

=	∑ w		де,	w = x*f
	∑ w/x		Отже	=	∑ xіfі
					∑	xіfі
						х

Середня квадратична застосовується для визначення середніх сторін квадратів, середніх діаметрів циліндричних тіл, для вивчення варіації ознаки.

= - проста = - зважена

Середня хронологічна використовується для одержання узагальнюючої характеристики ознаки, змінюються в часі. Середня хронологічна для моментного ряду динаміки:

=	½ x1 + x2 + x3 +…+ xn-1 + ½ xn
	n – 1

Середня геометрична застосовується при обчисленні середніх річних коефіцієнтів в якої-небудь ознаки за формулою:

=

Середня прогресивна є узагальнюючою характеристикою, яка одержана на основі кращих показників.

Для характеристики складу сукупності статистика використовує структурні середні – моду і медіану.

Модою (М_о) – називається ознака, що зустрічається в досліджуваній сукупності найбільш часто.

Приклад 5.

Магазин за місяць продав 1000 чоловічих костюмів.

Розмір костюма, х	Кількість костюмів, f	Кумулятивні частоти
46	150	150
48	200	150 + 200 = 350
50	200	350 + 200 = 550
52	300	550 + 300 = 850
54	100	850 + 100 = 950
56	50	950 + 50 = 1000
Всього	1000	-

М_о = 52 розмір, оскільки f = 300.

У інтервальному ряду розподілу мода обчислюється за формулою:

Мо =	х0 + і	f2 - f1
		(f2 - f1) + (f2 - f3)

де: М_о – мода;

х₀ – мінімальне значення модального інтервалу;

і або (k) – величина модального інтервалу;

f₁ – частота інтервалу, що стоїть перед модальним інтервалом;

f₂ – частота модального інтервалу;

f₃ – частота інтервалу, що стоїть після модального.

Приклад 6:

Групи магазинів за обсягом товарообороту

Товарообороти, тис.грн.	Кількість підприємств	Кумулятивні частоти
до 300	20	20
300 – 600	31	51
600 – 900	34	85
900 – 1200	10	95
1200 і більше	5	100
Всього	100

Модальний інтервал 600 – 900 тис.грн., оскільки f = 34.

Звідси:

Мо =	600 + 300	34 – 31	= 600 + 300 3/27 = 633,3 тис. грн.
		(34 – 31) + (31 – 10)

Медіана (М_е) – це значення ознаки, яке припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його на дві рівні за обсягом частини.

У дискретному ряду медіаною буде значення ознаки, кумулятивна частота якого перевищує половину обсягу сукупності.

В інтервальному ряді розподілу медіана обчислюється за формулою:

Ме =	х0 + і	- Sm-1
		fm

де: х₀ – мінімальне значення медіанного інтервалу;

і (k) – величина модального інтервалу;

– півсума частот;

S_m-1 – сума частот, що стоять перед медіанним інтервалом;

f_m – частота медіанного інтервалу.

Обчислимо медіану для інтервального ряду у (дані попереднього прикладу). (Якщо кумулятивна частота дорівнює або перевищує половину суми частот – то це і буде медіанний інтервал). Отже, медіанний інтервал 300 – 600, так як (100/2=50).

Звідси,

Ме =	300 + 300	– 200	= 300 + 300 30/31 = 300 + 290,3 = 590,3 тис. грн.
		31

Це свідчить, що 50 магазинів мають товарооборот менше 590,3 тис. грн., а решта 50 – більше 590, 3 тис. грн.