2.5 Метод Гаусса–Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя – это итерационный метод решения задачи, или метод последовательных приближений.
2.5.1 Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя
Получим
расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя.
Пусть решается система уравнений (2.1).
Выразим из 1-го уравнения
,
из 2-го уравнения
и т.д. В результате получим
,
,
…………………………………………….
,
или
вообще для любого
.
(2.12)
Предположим,
что на некоторой
-й
итерации мы получили решение
.
Используем известные к моменту расчета
значения других переменных в правой
части уравнения (2.12) для расчета значения
в левой части. В результате мы получим
следующую рекуррентную формулу, которая
и составляет метод Гаусса–Зейделя:
.
Расчеты
по последней формуле продолжаются при
до тех пор, пока не будет выполняться
условие
,
или условие
,
где
,
причем
– допустимая абсолютная погрешность
нахождения
решения
СЛАУ, а
– допустимая относительная погрешность.
2.5.2 Сходимость метода Гаусса–Зейделя
Итерационные методы могут сходиться к решению или не сходиться. То же самое относится и к методу Гаусса–Зейделя. Исследуем сходимость метода на примере системы из двух уравнений
Запишем данную систему в виде
(2.13)
Итерации метода Гаусса–Зейделя здесь осуществляются по формулам
(2.14)
Обозначим
Вычитая из выражений (2.13) выражения (2.14), получим
Подставляя первое из этих выражений во второе, получим
.
Аналогично можно найти
,
так что
.
Продолжая этот процесс дальше, будем иметь
.
Точно также можно получить
.
Поэтому если
,
(2.15)
то
,
,
и метод Гаусса-Зейделя сходится к решению
.
Соотношение (2.15) – это достаточное
условие сходимости метода Гаусса-Зейделя
для системы из двух уравнений.
Содержательный смысл приведенного условия сходимости можно выяснить, проанализировав его. Соотношению (2.15) можно удовлетворить, если
или если
Последние два условия можно назвать условиями преобладания диагональных
элементов системы уравнений: для сходимости метода Гаусса–Зейделя диагональные элементы системы уравнений по абсолютной величине должны превышать недиагональные.
Полученные достаточные условия сходимости для системы двух уравнений можно распространить на систему уравнений. Без доказательства скажем, что метод Гаусса–Зейделя сходится для системы уравнений, если выполняются условия
для
всех
кроме одного, для которого выполняется
более жесткое условие
.
Сформулированные условия также являются достаточными, но не необходимыми. Возможны случаи невыполнения данных условий при сходимости метода. Эти условия также можно назвать условиями преобладания диагональных элементов. В связи с этим часто для обеспечения сходимости метода Гаусса–Зейделя бывает достаточно поменять местами уравнения системы с тем, чтобы на главную диагональ матрицы системы попали наибольшие по абсолютному значению коэффициенты.