- •Предисловие
- •1 Математические модели. Численные методы. Погрешности вычислений
- •1.1 Математические модели и моделирование
- •1.2 Этапы численного решения задач на эвм
- •1.3 Виды погрешностей решения задач
- •1.4 Погрешности арифметических операций
- •1.5 Графы арифметических операций
- •1.6 Распространение погрешностей в вычислениях
- •2 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1 Постановка задачи. Методы решения
- •2.2 Метод Гаусса
- •2.2.1 Описание метода Гаусса
- •2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса
- •2.2.3 Погрешность метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.4 Обращение матрицы
- •2.5 Метод Гаусса–Зейделя
- •2.5.1 Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя
- •2.5.2 Сходимость метода Гаусса–Зейделя
- •2.5.3 Графическая иллюстрация метода Гаусса–Зейделя
- •3 Аппроксимация функций
- •3.1 Понятие аппроксимации функций
- •3.2 Постановка задачи интерполирования функций
- •3.3 Интерполяционный полином Лагранжа
- •3.4 Конечные и разделенные разности функции
- •3.5 Интерполяционный полином Ньютона
- •3.6 Погрешность интерполирования
- •3.7 Наилучший выбор узлов интерполирования
- •4 Численное интегрирование
- •4.1 Постановка задачи численного интегрирования
- •4.2 Метод прямоугольников
- •4.3 Погрешность метода прямоугольников
- •4.4 Метод трапеций
- •4.5 Погрешность метода трапеций
- •4.6 Метод Симпсона
- •4.7 Погрешность метода Симпсона
- •4.8 Интерполяционные квадратурные формулы
- •4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.9.1 Квадратурная формула Гаусса–Лежандра
- •4.9.2 Квадратурная формула Гаусса–Лагерра
- •4.9.3 Квадратурная формула Гаусса–Эрмита
- •5 Решение нелинейных уравнений
- •5.1 Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений
- •5.2 Метод деления отрезка пополам
- •5.3 Метод простой итерации
- •5.4 Метод Ньютона
- •5.5 Метод секущих
- •6 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1 Постановка задачи
- •6.2 Метод рядов Тейлора
- •6.3 Метод Эйлера
- •6.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка
- •6.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка
- •7 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1 Постановка задачи
- •7.2 Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7.3 Метод Эйлера
- •8.2 Выполнение символьных операций Matlab
- •8.3 Создание символьных переменных
- •8.4 Создание группы символьных переменных
- •8.5 Создание списка символьных переменных
- •8.6 Вывод символьного выражения
- •8.7 Упрощение выражений
- •8.8 Вычисление производных
- •8.9 Вычисление интегралов
- •8.10 Вычисление сумм рядов
- •8.11 Вычисление пределов
- •8.12 Разложение функции в ряд Тейлора
- •8.13 Вычисление определителя матрицы, обращение матрицы
- •9 Дополнение
- •9.1 Вычисление значений полиномов
- •9.2 Вычисление корней полиномов
- •9.3 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона
- •9.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (метод прогонки)
- •9.5 Интерполирование функций сплайнами
- •Литература
- •Оглавление
6.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка
Аналогично тому, кок это было сделано в разделе 6.4 для метода Рунге–Кутта 2-го порядка, можно вывести формулы для методов Рунге–Кутта 3-го и 4-го порядков. Без выводов приведем формулы для метода Рунге–Кутта 4-го порядка:
,
,
, (6.18)
,
,
Метод Рунге–Кутта 4-го порядка (6.18) имеет погрешность порядка . Среди методов Рунге–Кутта он наиболее употребителен.
Рассмотренные в данном разделе методы называются одношаговыми, так как для получения нового значения интегральной кривой достаточно знать лишь одно ее предыдущее значение.
7 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
7.1 Постановка задачи
Системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка называется совокупность дифференциальных уравнений следующего вида:
(7.1)
Неизвестными здесь являются функции , , …, независимой переменной , а , , …, – их производные. Задача Коши для данной системы дифференциальных уравнений формулируется следующим образом: найти функции , , …, , удовлетворяющие равенствам (7.1) и начальным условиям
(7.2)
Обычно для записи системы дифференциальных уравнений (7.1) используется векторная форма, для чего данные организуются в виде векторов. Введем в рассмотрение векторную функцию – вектор-столбец
.
Тогда можно рассматривать также вектор-столбец производной
и вектор-столбец функций правой части системы (7.1)
.
С использованием этих векторных обозначений система дифференциальных уравнений (7.1) запишется в виде
, (7.3)
а начальные условия (7.2) – в виде
, (7.4)
где
.
Мы видим, что векторная запись (7.3), (7.4) системы дифференциальных уравнений первого порядка (7.1), (7.2) имеет тот же вид, что и дифференциальное уравнение 1-го порядка (6.1), (6.2). Это внешнее сходство позволяет предположить, что методы решения дифференциального уравнения 1-го порядка, (см. лабораторную работу №6), можно распространить (обобщить) и на систему дифференциальных уравнений 1-го порядка вида (7.1), (7.2). Это предположение оказывается справедливым.
7.2 Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения -го порядка
, (7.5)
удовлетворяющее начальным условиям
, , …, , (7.6)
где – некоторые числа. Если уравнение (7.5) можно разрешить относительно старшей производной , то его можно представить в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка. Покажем, как это сделать. Пусть уравнение (7.5) представлено в виде
. (7.7)
Для функции и ее производных до -го порядка введем обозначения
,
,
,
…………….
.
Дифференцирование этих равенств с учетом выражения (7.7) дает нам следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка
,
,
, (7.8)
…………….
.
Начальные условия (7.6) приобретают теперь следующий вид:
,
,
………………… (7.9)
.