4.8 Интерполяционные квадратурные формулы

Рассмотрим вычисление следующего интеграла

, (4.9)

где – некоторая неотрицательная интегрируемая функция, которая называется весовой, – некоторая достаточно гладкая функция, которую назовем подынтегральной. Этот интеграл является более общим по сравнению с рассматриваемым ранее интегралом (4.1). Интеграл вида (4.1) мы получим из (4.9) при весовой функции .

Для вычисления интеграла (4.9) применим следующий подход: выберем на отрезке точек . В отличие от предыдущих методов, не будем вычислять интегралы на частичных отрезках, а заменим подынтегральную функцию на всем отрезке интерполяционным полиномом (3.7), построенным по узлам . В результате получим следующую квадратурную формулу

, (4.10)

где

, (4.11)

.

Формула (4.10), в которой коэффициенты определяются по выражению (4.11), называется интерполяционной квадратурной формулой.

Рассмотрим вопрос погрешности интерполяционной квадратурной формулы. Заменяя подынтегральную функцию полиномом Лагранжа , мы получаем абсолютную грешность (3.18). Представим функцию виде

и найдем интеграл (4.9).

.

Ясно, что последнее слагаемое правой части этого выражения есть абсолютная погрешность интерполяционной квадратурной формулы:

.

Подставляя сюда выражение (3.18) для погрешности , получим следующую формулу абсолютной погрешности интерполяционной квадратурной формулы (4.10):

, .

Если обозначить

,

то для оценки абсолютной погрешности интерполяционной квадратурной формулы (4.10) получим выражение

.

Из полученных выражений для погрешности видно, что интерполяционная квадратурная формула (4.10) точна для полиномов -й степени, поскольку в этом случае . О такой квадратурной формуле говорят, что ее степень точности равна .

Таким образом, квадратурная формула интерполяционного типа (4.10), построенная по узлам , является точной для полиномов -й степени. Справедливо также и обратное утверждение, которое сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Если квадратурная формула

(4.12)

точна для полинома степени , то она является интерполяционной.

Для доказательства достаточно показать, что если – полином степени , то коэффициенты определяются формулой (4.11), т.е. . Выберем в качестве такого полинома полином влияния -го узла (3.6). Тогда по условию теоремы квадратурная формула (4.12) для него будет точной, т.е.

, .

Полином влияния обладает свойством

,

в связи с чем предыдущий интеграл будет равен

.

Левая часть последнего равенства есть , т.е. , и теорема доказана.

4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)

Точность интерполяционной квадратурной формулы (4.10) можно существенно увеличить путем рационального выбора узлов . Задача получения более точной квадратурной формулы формулируется следующим образом: построить квадратурную формулу

, (4.13)

которая при заданном была бы точной для полиномов возможно большей степени. Построение такой формулы заключается в надлежащем выборе коэффициентов и узлов .

Для решения задачи потребуем, чтобы формула (4.13) была точна для любого многочлена степени . Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для однородных полиномов , . Отсюда получаем условия

, , (4.14)

которые представляют собой систему нелинейных уравнений относительно неизвестных , . Для того, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, необходимо выполнение равенства , откуда получаем . Оказывается, что при эта система уравнений имеет единственное решение. Таким образом, существует квадратурная формула (4.13), точная для полиномов степени . Степень точности этой формулы более чем в 2 раза выше степени точности интерполяционной квадратурной формулы. Для получения этой формулы необходимо определить ее параметры , путем решения системы нелинейных уравнений (4.14) при . Однако существует другой путь определения этих параметров, который содержится в следующих теоремах.

Теорема 1. Квадратурная формула (4.13) точна для любого полинома степени тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. формула является формулой интерполяционного типа, т.е. ее коэффициенты определяются выражениями (4.11);

2. полином в (4.11) ортогонален с весом любому многочлену степени меньше :

, ,

что равносильно требованию

, . (4.15)

Теорему принимаем без доказательства.

Замечание 1. Полином , удовлетворяющий условиям (4.15), называется ортогональных полиномом на с весом .

Замечание 2. Поскольку полином имеет вид , то ясно, что точки являются корнями этого ортогонального полинома.

Таким образом, для любых существует, притом единственная, квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности вида (4.13). Узлы этой формулы совпадают с корнями ортогонального на с весом полинома степени , а коэффициенты определяются формулой (4.11). Интерполяционная квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности называется также квадратурной формулой Гаусса–Кристоффеля или квадратурной формулой Гаусса. Узлы и соответствующие им веса квадратурной формулы Гаусса рассчитываются заранее для различных весовых функций и сводятся в таблицы [8,9]. В следующих разделах приведены примеры квадратурных формул Гаусса.