3.4 Конечные и разделенные разности функции
Пусть
– точки действительной прямой и
,
,
– значения функции
в этих точках. Назовем значения
конечными разностями нулевого порядка
функции
.
Конечными разностями первого порядка
функции
называются приращения
,
.
Конечные разности второго порядка определяются как конечные разности от конечных разностей первого порядка:
,
.
Конечные разности третьего порядка определяются как конечные разности от конечных разностей второго порядка:
,
.
Вообще, конечные разности -го порядка определяются с помощью следующего рекуррентного соотношения:
,
.
Если функция есть полином -й степени
,
то
можно показать, что его конечная разность
-го
порядка есть величина постоянная (
),
а конечная
разность
-го
порядка равна нулю (
).
Введем теперь понятие разделенных разностей функции . Назовем значения в точках , , разделенными разностями нулевого порядка функции . Разделенными разностями первого порядка функции называются отношения
,
.
Разделенными разностями второго порядка функции называются отношения
.
Вообще,
разделенные разности
-го
порядка определяются через разделенные
разности
-го
порядка с помощью рекуррентного
соотношения
,
,
.
Разделенные
разности
являются симметричными функциями своих
аргументов, т.е. не меняются при их
перестановке. Например,
.
Если
– полином степени
,
то можно показать, что его разделенная
разность
-го
порядка тождественно равна нулю,
,
для
любой системы попарно различных точек
.
В
случае равноотстоящих на величину
точек
разделенные разности можно выразить
через конечные разности. Действительно,
легко видеть, что
,
,
,
.
Вообще справедлива формула
,
,
которая
при
приобретает вид
.
(3.8)
Из приведенного изложения можно видеть, что конечные и разделенные разности являются прообразами производных. Действительно, производная -го порядка получается при равномерном шаге из конечной разности -го порядка путем предельного перехода
.
3.5 Интерполяционный полином Ньютона
Пусть
в точках
отрезка
известны значения
функции
.
Построим по этим данным интерполяционный
полином
в форме Ньютона. Построение основывается
на том, что разделенные разности
интерполяционного полинома и функции
совпадают, т.е.
,
,
,
(3.9)
……………………………..
.
Кроме того, мы знаем, что
. (3.10)
Запишем разделенную разность первого порядка для полинома :
.
Отсюда
.
(3.11)
Разделенная разность произвольного порядка имеет вид
,
откуда
.
Последняя
формула позволяет перейти от разделенной
разности
-го
порядка к разделенной разности более
высокого
-го
порядка. В частности,
,
.
Используя эти формулы, из формулы (3.11) последовательно получаем
,
.
Продолжая этот процесс, в итоге получим формулу
.
.
Учитывая
равенства (3.9), (3.10), получаем полином
Ньютона для не равноотстоящих узлов,
выраженный через разделенные разности
в начальной точке
:
.
(3.12)
Отметим,
что при выводе формулы полинома Ньютона
мы не предполагали, что узлы располагаются
в порядке возрастания. Поэтому порядок
узлов в выражении полинома Ньютона
можно изменять. Изменив порядок узлов
на обратный, мы получим следующее
выражение полинома Ньютона, записанное
через разделенные разности в конечной
точке
:
.
(3.13)
Если точки отстоят одна от другой на равном расстоянии , то с учетом равенства (3.8) получаем полином Ньютона, выраженный через конечные разности в начальной точке :
.
(3.14)
Аналогичным образом получаем полином Ньютона, выраженный через конечные разности в конечной точке :
.
(3.15)
Полиномы Ньютона удобны тогда, когда необходимо изменять количество узлов интерполирования. При увеличении количества узлов нет необходимости пересчитывать весь полином, достаточно прибавить к нему новые слагаемые, соответствующие новым узлам. В случае полинома Лагранжа при добавлении новых узлов приходится пересчитывать весь полином.
Полиномы
(3.12), (3.14), полученные по разностям в
начальной точке
,
используются для интерполирования
функции вблизи начальной точки
,
а полиномы (3.13), (3.15), полученные по
разностям в конечной точке
,
– для интерполирования вблизи конечной
точки
.
Пример 3.2. Построим интерполяционный полином Ньютона по данным примера 3.1 раздела 3.3. Для этого по таблице 3.1 составим таблицу разделенных разностей (таблица 3.2).
Таблица 3.2
|
|
|
|
-2 |
12 |
|
|
|
|
-6 |
|
-1 |
6 |
|
1 |
|
|
-1 |
|
3 |
2 |
|
|
Разделенные разности образуют верхнюю убывающую диагональ, содержащую разделенные разности в начальной точке (числа 12, -6, 1), и нижнюю возрастающую диагональ, содержащую разделенные разности в конечной точке (числа 2, -1, 1). Используя разделенные разности в начальной точке , получаем полином Ньютона
.
Используя разделенные разности в конечной точке , получаем полином
.
В обоих случаях мы получили один и тот же полином, совпадающий с полиномом Лагранжа в примере 3.1.