- •Предисловие
- •1 Математические модели. Численные методы. Погрешности вычислений
- •1.1 Математические модели и моделирование
- •1.2 Этапы численного решения задач на эвм
- •1.3 Виды погрешностей решения задач
- •1.4 Погрешности арифметических операций
- •1.5 Графы арифметических операций
- •1.6 Распространение погрешностей в вычислениях
- •2 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1 Постановка задачи. Методы решения
- •2.2 Метод Гаусса
- •2.2.1 Описание метода Гаусса
- •2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса
- •2.2.3 Погрешность метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.4 Обращение матрицы
- •2.5 Метод Гаусса–Зейделя
- •2.5.1 Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя
- •2.5.2 Сходимость метода Гаусса–Зейделя
- •2.5.3 Графическая иллюстрация метода Гаусса–Зейделя
- •3 Аппроксимация функций
- •3.1 Понятие аппроксимации функций
- •3.2 Постановка задачи интерполирования функций
- •3.3 Интерполяционный полином Лагранжа
- •3.4 Конечные и разделенные разности функции
- •3.5 Интерполяционный полином Ньютона
- •3.6 Погрешность интерполирования
- •3.7 Наилучший выбор узлов интерполирования
- •4 Численное интегрирование
- •4.1 Постановка задачи численного интегрирования
- •4.2 Метод прямоугольников
- •4.3 Погрешность метода прямоугольников
- •4.4 Метод трапеций
- •4.5 Погрешность метода трапеций
- •4.6 Метод Симпсона
- •4.7 Погрешность метода Симпсона
- •4.8 Интерполяционные квадратурные формулы
- •4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.9.1 Квадратурная формула Гаусса–Лежандра
- •4.9.2 Квадратурная формула Гаусса–Лагерра
- •4.9.3 Квадратурная формула Гаусса–Эрмита
- •5 Решение нелинейных уравнений
- •5.1 Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений
- •5.2 Метод деления отрезка пополам
- •5.3 Метод простой итерации
- •5.4 Метод Ньютона
- •5.5 Метод секущих
- •6 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1 Постановка задачи
- •6.2 Метод рядов Тейлора
- •6.3 Метод Эйлера
- •6.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка
- •6.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка
- •7 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1 Постановка задачи
- •7.2 Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7.3 Метод Эйлера
- •8.2 Выполнение символьных операций Matlab
- •8.3 Создание символьных переменных
- •8.4 Создание группы символьных переменных
- •8.5 Создание списка символьных переменных
- •8.6 Вывод символьного выражения
- •8.7 Упрощение выражений
- •8.8 Вычисление производных
- •8.9 Вычисление интегралов
- •8.10 Вычисление сумм рядов
- •8.11 Вычисление пределов
- •8.12 Разложение функции в ряд Тейлора
- •8.13 Вычисление определителя матрицы, обращение матрицы
- •9 Дополнение
- •9.1 Вычисление значений полиномов
- •9.2 Вычисление корней полиномов
- •9.3 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона
- •9.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (метод прогонки)
- •9.5 Интерполирование функций сплайнами
- •Литература
- •Оглавление
4 Численное интегрирование
4.1 Постановка задачи численного интегрирования
Задача численного интегрирования состоит в том, чтобы найти численное значение определенного интеграла
, (4.1)
где – функция, непрерывная на отрезке интегрирования . Формулы для решения этой задачи называются квадратурными. Квадратурная формула позволяет вместо точного значения интеграла (4.1) найти некоторое его приближенное значение . Разность точного и приближенного значений интеграла называется абсолютной погрешностью квадратурной формулы (или численного метода),
.
Квадратурные формулы используют для вычисления интеграла (4.1) значения , ,…, функции в точках отрезка . Квадратурная формула имеет вид
,
где – некоторые коэффициенты, которые называются весовыми. Рассмотрим различные квадратурные формулы и их погрешности.
4.2 Метод прямоугольников
Разобьем отрезок интегрирования на частей точками , как это показано на рисунке 4.1. Заменим площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямоугольников, построенных на частичных отрезках , как на основаниях. Если высоту -го прямоугольника взять равной значению функции в левой точке основания прямоугольника, т.е. принять
,
то мы получим квадратурную формулу левых прямоугольников
.
Для равноотстоящих на величину узлов,
,
формула левых прямоугольников имеет вид
. (4.2)
Рисунок 4.1 – К методам прямоугольников и трапеций
Мы видим, что все весовые коэффициенты формулы левых прямоугольников в случае равноотстоящих узлов равны , кроме коэффициента при , который равен нулю.
Если интеграл на -м отрезке заменить площадью прямоугольника
с высотой, равной значению функции в правой точке основания прямоугольника, т.е. принять
,
то мы получим квадратурную формулу правых прямоугольников
.
Для равноотстоящих на величину узлов формула правых прямоугольников имеет вид:
. (4.3)
Мы видим, что все весовые коэффициенты формулы правых прямоугольников в случае равноотстоящих узлов равны , кроме коэффициента при , который равен нулю.
4.3 Погрешность метода прямоугольников
Абсолютная погрешность метода левых прямоугольников есть разность
.
Она складывается из погрешностей , получаемых на частичных отрезках интегрирования,
,
где
, .
Оценка погрешности определяется выражением
.
Чтобы оценить , рассмотрим функцию
, .
Понятно, что если , , то . По теореме Лагранжа
, ,
и
.
Если обозначить
,
то
, .
На этом основании получаем оценку для частичной погрешности при равномерном шаге интегрирования :
.
Оценка абсолютной погрешности на всем отрезке интегрирования определяется выражением
.
Мы видим, что погрешность метода прямоугольников имеет тот же порядок, что и шаг интегрирования . Поскольку для функций вида , то для таких функций формула прямоугольников является точной.
4.4 Метод трапеций
Заменим площадь криволинейной трапеции суммой площадей трапеций, построенных на частичных отрезках , (см. рисунок 4.1),
,
где
.
В результате мы получим квадратурную формулу трапеций:
.
Для равноотстоящих на величину узлов формула трапеций имеет вид
. (4.4)