2.2 Метод Гаусса

2.2.1 Описание метода Гаусса

Дадим сначала общее описание метод Гаусса для решении СЛАУ (2.2). Этот метод состоит из двух этапов, которые называются прямым и обратным ходом. В процессе прямого хода система уравнений путем исключения переменных приводится к так называемому верхнему треугольному виду. В процессе обратного хода находится решение системы.

Прямой ход состоит из шагов . На шаге исключается неизвестная из всех уравнений, начиная со второго. На шаге исключается из всех уравнений, начиная с третьего. На любом -м шаге исключается , из всех уравнений, начиная уравнения. На последнем шаге исключается из последнего уравнения. В результате выполнения прямого хода мы получаем систему уравнений с так называемой верхней треугольной матрицей коэффициентов.

Обратный ход позволяет последовательно получить неизвестные системы уравнений. Сначала определяют из последнего -го уравнения. Затем это значение подставляют в ( )-е уравнение и определяют , и т. д., до определения из первого уравнения.

2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса

Получим расчетные формулы метода Гаусса. Начнем с прямого хода. Прямой ход базируется на том, что решение системы уравнений не изменится, если из некоторого уравнения вычесть любое другое уравнение, умноженное на некоторый коэффициент. Коэффициенты подбираются таким образом, чтобы при вычитании исключались определенные переменные.

На первом шаге для -го уравнения начиная с вводится коэффициент

,

и из -го уравнения вычитается 1-е уравнение, умноженное на этот коэффициент. Результирующее уравнение записывается на место -го. Это приводит к исключению переменной из -го уравнения. После этого шага система уравнений примет следующий вид:

где – коэффициенты, полученные на первом шаге прямого хода. Они определяются следующими выражениями:

,

,

.

На втором шаге для -го уравнения начиная с вводится коэффициент

,

и из -го уравнения вычитается 2-е уравнение, умноженное на этот коэффициент. Это приводит к исключению из -го уравнения переменной . После второго шага система уравнений примет вид

где – коэффициенты, полученные на втором шаге прямого хода. Они определяются выражениями

,

,

.

Вообще, на -м шаге для -го уравнения начиная с вводится коэффициент

, (2.7)

и из -го уравнения вычитается -е уравнение, умноженное на этот коэффициент. Результирующее уравнение записывается на место -го. При этом из -го уравнения исключается переменная . Коэффициенты системы уравнений на -м шаге пересчитываются по формулам

; (2.8)

, (2.9)

.

При происходит исключение из последнего уравнения, и окончательная верхняя треугольная система записывается следующим образом:

Теперь выполняется обратный ход. Видно, что из последнего уравнения можно сразу определить ,

.

Подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находим ,

.

Для нахождения любой переменной применяется формула

.

Метод исключения Гаусса требует приблизительно ячеек памяти. Реализация прямого хода требует выполнения приблизительно арифметических операций, а обратного – приблизительно арифметических операций.

Замечание. В процессе решения СЛАУ легко может быть получен определитель системы . Он равен произведению диагональных элементов матрицы верхней треугольной системы:

.