Литература

1. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. – М.: Мир, 1978. – 584 с.

2. Гусак А.А. Элементы методов вычислений. – Мн.: Университетское, 1982. – 519 с.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1988. – 700 с.

4. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2000. – 266 с.

5. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 382 с.

6. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. – М.: Наука, 1988. – 239 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1975. – 700 с.

8. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. – М.: Наука, 1966

9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1973. – 832 с.

10. Муха В.С., Птичкин В.А. Введение в MATLAB: Метод. пособие для выполнения лаб. работ по курсам "Статистические методы обработки данных" и "Теория автоматического управления" для спец. 53 01 02 "Автоматизированные системы обработки информации". – Мн.: БГУИР, 2002. – 40 с.

11. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. – М.: Нолидж. – 1999. – 740 с.

12. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений. – М.: Нолидж, 2000. – 608 с.

13. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. – М.: Мир,1986. – 391 с.

14. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. – М.: Мир, 1988. – 207 с.

15. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.x: программирование численных методов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 672 с.

16. Муха В.С., Слуянова Т.В. Вычислительные методы и компьютерная алгебра. Лаб. практикум для студ. спец. 53 01 02 «Автоматизированные системы обработки информации». – Мн.: БГУИР, 2003. – 84 с.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ. ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ 4

1.1 Математические модели и моделирование 4

1.2 Этапы численного решения задач на ЭВМ 5

1.3 Виды погрешностей решения задач 6

1.4 Погрешности арифметических операций 8

1.5 Графы арифметических операций 11

1.6 Распространение погрешностей в вычислениях 13

2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 18

2.1 Постановка задачи. Методы решения 18

2.2 Метод Гаусса 21

2.2.1 Описание метода Гаусса 21

2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса 22

2.2.3 Погрешность метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента 25

2.4 Обращение матрицы 27

2.5 Метод Гаусса–Зейделя 28

2.5.1 Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя 28

2.5.2 Сходимость метода Гаусса–Зейделя 30

2.5.3 Графическая иллюстрация метода Гаусса–Зейделя 32

3 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 36

3.1 Понятие аппроксимации функций 36

3.2 Постановка задачи интерполирования функций 36

3.3 Интерполяционный полином Лагранжа 38

3.4 Конечные и разделенные разности функции 41

3.5 Интерполяционный полином Ньютона 43

3.6 Погрешность интерполирования 46

3.7 Наилучший выбор узлов интерполирования 48

4 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 50

4.1 Постановка задачи численного интегрирования 50

4.2 Метод прямоугольников 50

4.3 Погрешность метода прямоугольников 52

4.4 Метод трапеций 53

4.5 Погрешность метода трапеций 54

4.6 Метод Симпсона 55

4.7 Погрешность метода Симпсона 57

4.8 Интерполяционные квадратурные формулы 60

4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса) 62

4.9.1 Квадратурная формула Гаусса–Лежандра 65

4.9.2 Квадратурная формула Гаусса–Лагерра 66

4.9.3 Квадратурная формула Гаусса–Эрмита 67

5 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 69

5.1 Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений 69

5.2 Метод деления отрезка пополам 70

5.3 Метод простой итерации 71

5.4 Метод Ньютона 75

5.5 Метод секущих 76

6 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 78

6.1 Постановка задачи 78

6.2 Метод рядов Тейлора 79

6.3 Метод Эйлера 81

6.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка 82

6.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка 86

7 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 87

7.1 Постановка задачи 87

7.2 Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка 88

7.3 Метод Эйлера 89

7.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка 90

7.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка 90

8 ВЫПОЛНЕНИЕ СИМВОЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ 92

8.1 Понятие символьных операций 92

8.2 Выполнение символьных операций Matlab 92

8.3 Создание символьных переменных 93

8.4 Создание группы символьных переменных 94

8.5 Создание списка символьных переменных 94

8.6 Вывод символьного выражения 95

8.7 Упрощение выражений 96

8.8 Вычисление производных 97

8.9 Вычисление интегралов 98

8.10 Вычисление сумм рядов 99

8.11 Вычисление пределов 100

8.12 Разложение функции в ряд Тейлора 101

8.13 Вычисление определителя матрицы, обращение матрицы 102

9 ДОПОЛНЕНИЕ 103

9.1 Вычисление значений полиномов 103

9.2 Вычисление корней полиномов 104

9.3 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона 106

9.4 Решение систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (метод прогонки) 108

9.5 Интерполирование функций сплайнами 110

ЛИТЕРАТУРА 116

1 Теорема Ролля. Пусть функция , дифференцируемая в замкнутом промежутке , обращается в нуль на концах промежутка. Тогда производная по меньшей мере один раз обращается в нуль внутри промежутка.

119