3.6 Погрешность интерполирования

Абсолютная погрешность интерполяционного полинома Лагранжа – это разность , где – интерполируемая функция, – интерполяционный полином Лагранжа. Поскольку абсолютная погрешность интерполирования равна нулю в узлах интерполирования, то ее можно представить в виде

, (3.16)

где – полином (3.5). Будем считать, что на отрезке интерполирования функция имеет производные до -го порядка включительно. Введем вспомогательную функцию

. (3.17)

Функция , очевидно, имеет корень в точках . Подберем коэффициент в выражении (3.17) так, чтобы имела -й корень в некоторой точке отрезка , не совпадающей с узлами интерполирования. Для этого достаточно положить

.

Так как в предполагаемой точке , то этот коэффициент вполне определяется последним уравнением. При таком значении коэффициента функция имеет корня на отрезке и обращается в нуль на концах каждого из следующих отрезков: , ,…, , ,…, . Применяя к каждому из этих отрезков теорему Ролля¹, убеждаемся, что производная не менее раза обращается в нуль на . Применяя теорему Ролля к производной убеждаемся, что вторая производная не менее раз обращается в нуль на . Продолжая эти рассуждения, приходим к заключению, что производная хотя бы 1 раз обращается в нуль на . Это значит, что существует точка , для которой

.

Из формулы (3.17) получаем

.

Так как производные

, ,

то

,

а в точке

Отсюда

,

и из выражения (3.16) получим следующую формулу для абсолютной погрешности интерполяционного полинома Лагранжа:

. (3.18)

Из последнего выражения получаем оценку абсолютной погрешности интерполирования в виде

, (3.19)

где – максимальное по модулю значение -й производной функции на отрезке интерполирования .

3.7 Наилучший выбор узлов интерполирования

Из формулы (3.18) видно, что погрешность интерполирования зависит от двух множителей, один из которых зависит от свойств интерполируемой функции и не поддается регулированию, а величина другого определяется исключительно выбором узлов интерполирования. Чаще всего узлы интерполирования располагают на отрезке интерполирования с равномерным шагом. Вместе с тем, выбирая неравномерную сетку узлов, можно увеличить точность интерполирования. Задача о наилучшем выборе узлов интерполирования была сформулирована и решена Чебышевым. Наилучшие узлы интерполирования выбираются равными корням так называемого "полинома, наименее отклоняющегося от нуля" на отрезке интерполирования . Полином -й степени, наименее отклоняющийся от нуля на отрезке , – это полином со старшим коэффициентом, равным единице, для которого величина минимальна. Этот полином был найден Чебышевым и назван его именем. Полином Чебышева определяется выражением

.

Наилучшие узлы интерполирования на отрезке выбираются из условия

,

т.е. как решение уравнения

.

Из этого уравнения получаем

, ,

,

так что наилучшие узлы интерполирования определяются формулой

. (3.20)

Наилучшие узлы интерполирования на произвольном отрезке находятся

по формуле

, (3.21)

где – узлы (3.20).