3 Множество. Число. Счет

Литература: [3, 9, 15, 18, 25, 26, 39, 51, 58]

3.1 Из истории развития количественных представлений

3.1.1 Этапы исторического развития числа

1 этап. Сравнение групп предметов по количеству с помощью установления взаимнооднозначного соответствия между элементами множеств (1 шкура − 1 горшок).

2 этап. Использование множеств-посредников для сравнения по количеству (зарубки на палке о количестве в прошлом году).

3 этап. Использование универсальных множеств для обозначения количества (1 луна; 5 пальцев на руке: луна оленей; рука оленей).

4 этап. Возникновение числительных и нумерации, абстрагирование числа от конкретного множества.

5 этап. Становление теорий числа: количественной и порядковой.

3.1.2 Основные идеи количественной и порядковой теорий

натурального числа

Количественная теория

Г. Кантор, XИX в. Основные понятия – множество, взаимно-однозначное соответствие.

В том случае, если каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент из множества У, то говорят, что между этими множествами установлено взаимно-однозначное соответствие.

Х У

Рассмотрим 2 бесконечных множества:

множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5,…n, … (1)

множество четных натуральных чисел 2, 4, 6,…2n, … (2)

(2) является подмножеством (1).

Так как ряд четных чисел можно пронумеровать с помощью натуральных чисел, то между этими двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие. Если между множеством и его некоторым подмножеством нельзя установить взаимно-однозначное соответствие, то множество является конечным.

Если между двумя конечными множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, то эти множества называются равночисленными.

Отношение «быть равночисленными» на множестве всех множеств является рефлексивным, симметричным, транзитивным, а значит, является отношением эквивалентности. Поэтому отношение «быть равночисленным» разбивает множество всех множеств на классы. В эти классы попадут самые различные множества. Общее между ними – одинаковое количество элементов (в класс «5» − 5 цветов, 5 пальцев).

Натуральным числом называют общее свойство класса не пустых, конечных, равночисленных множеств.

Покажем, как операции над числами определяются через операции над множествами.

Обозначим через n(А) количество элементов в множестве А.

Введем операцию сложения над числами через операцию объединения над множествами.

Суммой чисел a и b называется количество элементов в объединении множеств А и В, которое равно

а + b = n(АВ) = n(А) + n(В), при условии, что АВ = .

Порядковая теория натурального числа

Джузеппе Пеано, XИX в. Основные понятия: единица (е), операции: непосредственно следовать за, сложение, умножение.

В основе теории – аксиомы Пеано, которые являются свойствами натурального ряда чисел.

1 аксиома. Единица непосредственно не идет ни за каким натуральным числом.

2 аксиома. Любое натуральное число непосредственно следует не более, чем за одним натуральным числом.

3 аксиома. Если к натуральному числу х добавить 1, то получим непосредственно следующее натуральное число х', т.е. х + 1= х'.

4 аксиома. С помощью добавления единицы к натуральному числу можно получить весь ряд натуральных чисел.

5 аксиома. Если натуральное число х умножить на 1, то получим само натур. число, т.е. х∙1 = х.

х + у' = х + (у + 1) = (х + у) + 1 = (х + у) '

Мы видим, что в количественной теории понятие числа определяется через множество, а операции над числами − через операции над множествами. В порядковой теории дан принцип образования каждого числа, понятие числа определяется через систему аксиом.

Познание ребенком понятия числа происходит одновременно в рамках количественной и порядковой теорий.