3.1.3 Нумерации

Нумерация − графическое изображение числа.

Существуют разные способы изображения числа. У разных народов в разное время существовали разные способы изображения чисел:

• Иероглифическая нумерация (Др. Египет) – числа изображались с помощью рисунков.

• Клинопись (Вавилон) – использовались горизонтальные и вертикальные клинышки.

• Буквенная нумерация – числа изображались в виде букв, первая буква числительного (penta − p).

• Алфавитная нумерация: а) греческая; б) славянская.

Первые 9 чисел обозначаются первыми 9 буквами алфавита; следующие 9 букв обозначают десятки; следующие – сотни. Чтобы запись числа отличалась от записи букв, ставилась титла – волнистая черточка над буквой.

• Римская нумерация. Для записи числа использовались 7 знаков:

И – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Все остальные числа записывались с помощью этих знаков на основе следующих правил:

Если низшее число написано справа, то его прибавляют: VИ; если низшее число написано слева, то его отнимают: ИV .

Прибавлять можно не более трех знаков, а отнимать не более одного: VИИИ – восемь, ИX – девять.

Отнимать можно непосредственно предыдущий знак, от сотни – только 10, от 500 – только 10. Например, 99 – XCИX.

Если надо записать число более трех тысяч, мы записываем его низшими знаками, берем в скобки и обозначаем индексом m.

214698 – (CCXИV)_m DCXCVИИИ.

• Арабская нумерация (пользуемся и теперь). Придумали в Индии, европейцы переняли у арабов. Используется 10 знаков – цифры: 0, 1, …., 9.

3.1.4 Системы счисления

Система счисления – это совокупность способов записи чисел и выполнения действий над числами.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных – значение каждого знака в записи числа зависит от занимаемой им позиции (222), а в непозиционной – не зависит (CCXXИИ).

К позиционным системам счисления относятся: десятичная (используется 10 знаков для записи чисел – 0, 1, 2, …, 8, 9), двоичная (используется 2 знака – 0, 1) и т.п.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

А) Чтобы перевести число из любой позиционной системы счисления в десятичную, надо представить это число в стандартном виде (например,

в десятичной системе счисления, 2134 = 2∙10³+1∙10²+3∙10¹+4∙10⁰,

в двоичной системе счисления, 1101₂ = 1∙2³ + 1∙2² + 0∙2¹ +1∙2⁰,

затем выполнить все действия: 1101₂ = 1∙2³ + 1∙2² + 0∙2¹ +1∙2⁰ =

= 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Полученный результат и будет искомой записью числа в десятичной системе счисления, т.е. 1101₂ = 13.

Б) Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в любую позиционную, надо делить это число на основание системы до тех пор, пока делимое не станет меньше делителя. Затем надо записать все остатки снизу вверх (или справа налево). Полученный результат и будет искомой записью числа, т.е. 13 = 1101₂

13│2

1 6│2

0 3│2

1 1│2

1

Арифметические действия с многозначными числами в любой позиционной системе счисления выполняются также как и в десятичной, т.е. числа записываются в столбик разряд под разрядом.

₊111₂

101₂

1100₂

А для выполнения действий с однозначными числами составляются таблицы. Например, в двоичной системе счисления:

а\в	0	1
0	0	1
1	1	10

Из истории происхождения систем счисления

Одними из первых появились пятеричная и десятичная системы счисления (по количеству пальцев на одной или двух руках). Существовала также двенадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления. В первой из них считали большим пальцем фаланги остальных четырех пальцев. Отголоски этой системы дошли до наших дней: посуда группируется по 12 приборов (в дюжины). Гипотеза появления шестидесятеричной системы счисления такова: объединились два народа, у одного из которых была пятеричная, а у другого двенадцатеричная системы счисления. В наше время свидетельством существования этой системы служит состав часа из 60 минут и т.п.