3. Произвольная плоская системы сил
Теорема о параллельном переносе сил. Приведение плоской системы сил к данному центру. Условия равновесия произвольной плоской системы сил и плоской системы параллельных сил. Равновесие системы тел. Распределённые силы. [1, с. 37–60; 2, с. 21–34; 3, с. 69–142: 4, с. 17–21.].
3.1. Теорема о параллельном переносе сил
Силу
,
приложенную к абсолютно твёрдому телу
в точке А, можно, не изменяя оказываемого
действия, переносить параллельно ей
самой в любую точку В тела, прибавляя
при этом пару с моментом (
)
(присоединённая пара), равным моменту
переносимой силы относительно точки,
куда сила переносится.
П
усть
на твёрдое тело действует сила
,
приложенная в точке А
(рис. 3.1а).
Действие
этой силы не изменится, если в любой
точке В
тела приложить уравновешенные силы
и
,
такие, что
,
.
Полученная система трёх сил и представляет
собой силу
,
равную
,
но приложенную в точке В, и пару
с моментом
.
(3.1)
Таким
образом, теорема доказана. Результат,
даваемый теоремой на этом рисунке можно
изобразить так, как это показано на рис.
3.1б (силу
можно считать отброшенной).
3.2. Приведение произвольной системы сил к данному центру
Если
на тело действует произвольная система
сил
…,
,
то их можно перенести в произвольную
точку О,
называемую
центром приведения,
при этом получим n
сил и n
присоединённых пар.
Геометрическую сумму сил произвольной системы называют главным вектором этой системы:
.
(3.2)
Главный вектор не изменяется с изменением центра приведения.
Геометрическую
сумму моментов сил (присоединённых пар)
произвольной системы сил относительно
какой-либо точки О
называют главным
моментом
этой
системы сил относительно точки О:
.
(3.3)
Главный момент изменяется с изменением центра приведения.
Таким
образом,
система сил в результате приведения к
данному центру заменяется эквивалентной
системой, состоящей из главного вектора
и главного момента
.
Модуль
и направление главного вектора
определяются по формулам:
. (3.4)
Модуль
и направление главного момента
определяются по формулам:
.
(3.5)
В
формулах (3.4) и (3.5) углы α,
β, γ– углы
между вектором
и
осями x,
y
и z.
3.3. Условия равновесия плоской системы сил
Для
равновесия
плоской
системы
сил необходимо
и достаточно,
чтобы
главный
вектор
и главный
момент
этой
системы
относительно
любого произвольно
выбранного
центра О
равнялись
нулю,
т. е.
;
(3.6)
.
(3.7)
В векторной форме условие (3.6) применять для решения задач неудобно. Спроектировав силы на оси координат, получим вместо (3.6) и (3.7) три следующих скалярных равенства:
,
.
(3.8)
Систему уравнений (3.8) называют первой формой уравнений равновесия произвольной плоской системы сил, которая формулируется так: для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую координатную ось (x, y) и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки О, лежащей в плоскости действия сил, равнялись нулю.
Вторая форма уравнений равновесия формулируется так: для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно трёх произвольных точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю:
.
(3.9)
Третья форма уравнений равновесия формулируется так: для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно двух произвольных точек А, В и алгебраическая сумма проекций всех сил на какую-либо ось х или у, не перпендикулярную к прямой АВ, равнялись нулю, т. е.
(3.10)
или
. (3.11)
Условие неперпендикулярности сил и прямой АВ также обязательно. В противном случае, одно из уравнений системы (3.10) или (3.11) не является независимым.
Все три формы уравнений равновесия совершенно равноправны. Следует отметить, что независимо от вида уравнений равновесия для плоской системы произвольно расположенных сил статика позволяет составить только три уравнения.