2. Сложение сил. Система сходящихся сил

Геометрический способ сложения сил. Равнодействующая сходящихся сил. Разложение сил. Проекция силы на ось и на плоскость. Аналитический способ задания сил. Аналитический способ сложения сил. Равновесие системы сходящихся сил. Статически определимые и неопределимые системы. Момент силы относительно центра (или точки). Теорема Вариньона о моменте равнодействующей. Сложение и разложение параллельных сил, расположенных в одной плоскости [1, с. 18–34; 2, с. 21–20; 3, с. 4–27; 4, с. 11–21].

Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Существует два способа сложения сил: геометрический и аналитический.

2.1. Геометрический способ сложения сил.

Равнодействующая сходящихся сил

И зучение статики начнём с рассмотрения геометрического способа сложения сил. Величина, равная геометрической сумме сил какой-нибудь системы, называется главным вектором этой системы сил.

Сложение двух сил. Геометрическая сумма двух сил и находится или по правилу параллелограмма (рис. 2.1а), или построением силового треугольника (рис. 2.1б), изображающего одну из половин этого параллелограмма. Для построения силового треугольника надо от произвольной точки А₁ отложить вектор, изображающий одну силу из сил, а от его конца – вектор, изображающий вторую силу. Соединяя начало первого вектора с концом второго, получим вектор, изображающий силу .

Модуль R определяется как сторона А₁С₁ треугольника А₁В₁С₁ из равенства

,

где α – угол между силами.

Следовательно,

. (2.1)

Углы β и γ, которые сила образует со слагаемыми силами и , находятся по теореме синусов. Учитывая, что , получим

. (2.2)

С ложение трёх сил, не лежащих в одной плоскости (рис. 2.2). Геометрическая сумма трёх сил , и , не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (правило параллелепипеда). В справедливости этого убеждаемся, применяя последовательно правило параллелограмма.

С ложение системы сил (рис. 2.3). Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил (рис. 2.3а) определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника (рис. 2.3б). Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения суммы сил , , … этим способом откладываем от произвольной точки О последовательно векторы, изображающие в выбранном масштабе слагаемые силы. Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор , изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

или

. (2.3)

От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление не зависит. Легко видеть, что проделанное построение представляет собой результат последовательного применения правила силового треугольника.

Фигура, построенная на рис. 2.3б, называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником.

Таким образом, геометрическая сумма или главный вектор нескольких сил изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного из этих сил (правило силового многоугольника). При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника), а у вектора – в сторону противоположную.

Равнодействующая сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке (см. рис. 2.3 а).

Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, приходим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения.

Следовательно, если силы , , … , сходятся в одной точке, то сила, равная главному вектору , найденному построением силового многоугольника, и приложенная в точке А, будет равнодействующей этой системы сил.