2.7. Статически определимые и неопределимые системы

При решении задач статики реакции связей всегда являются величинами заранее неизвестными, их число зависит от числа и вида наложенных связей. Условия равновесия, в которые входят реакции связей, называют уравнениями равновесия. Чтобы задача статики была разрешимой, необходимо, чтобы число уравнений равновесия равнялось числу неизвестных реакций, входящих в эти уравнения.

Задачи, в которых число неизвестных реакций равно числу уравнений равновесия, содержащих эти реакции, называются статически определимыми, а системы тел, для которых это имеет место, – статически определимыми системами.

Задачи же, в которых число неизвестных реакций больше числа уравнений равновесия, содержащих эти реакции, называются статически неопределимыми, а системы тел, для которых это имеет место, – статически неопределимыми системами.

2.8. Момент силы относительно центра (или точки)

Момент силы относительно точки используется при рассмотрении плоской системы сил.

П од действием силы твёрдое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется моментом. Моментом силы относительно центра (точки) О называют произведение модуля силы F на плечо силы h относительно этой точки, взятое со знаком плюс или минус (рис. 2.9):

. (2.13)

Плечом h силы называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы.

Принято считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и знак минус, – если по ходу часовой стрелки.

Момент обладает следующими свойствами:

– момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль её линии действия;

– момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю);

– момент силы численно равен удвоенной площади треугольника ОАВ (см. рис. 2.9):

.

2.9. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Теорема Вариньона формулируется следующим образом: момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра (без доказательства).

Математическое выражение теоремы Вариньона имеет вид:

. (2.14)

Этой теоремой часто бывает удобно пользоваться при вычислении моментов сил.

2.10. Сложение и разложение параллельных сил, расположенных

в одной плоскости

С ложение двух параллельных сил (рис. 2.10). Две параллельные силы и , направленные в одну сторону (рис. 2. 10а) или в разные стороны (рис. 2. 10б), приводятся к одной равнодействующей силе , параллельной этим силам. Модуль равнодействующей равен сумме (разности) модулей сил и , т. е.

.......(2.15)

Линия действия равнодействующей внутренним (внешним) образом делит расстояние между точками приложения сил на части, обратно пропорциональные модулям сил:

. (2.16)

Разложение сил. С помощью полученных формул можно решать задачу о разложении данной силы на две ей параллельные, направленные в одну или в разные стороны.

Существуют аналитический и геометрический способы задания плоской системы сил, их сложение и разложение, позволяющие определять равнодействующую (главный вектор) этих сил. При использовании аналитического метода решения задач статики используется понятие о проекции силы на ось и проекция силы на плоскость. При решении задач статики применяют условия равновесия сходящихся сил. Эти условия можно выразить в геометрической и аналитической формах. Теорема о трёх силах позволяет иногда определить линию действия неизвестной силы.

Существуют статически определимые и статически неопределимые системы. Первые решаются с помощью уравнений равновесия статики, вторые – с использованием методов механики твёрдого деформируемого тела.

При рассмотрении плоской системы сил используется понятие о моменте силы относительно точки и теорема Вариньона.

Возможно сложение и разложение параллельных сил, направленных в одну или в разные стороны.

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 2.1. Определить модуль равнодействующей двух равных по модулю сходящихся сил F₁ = F₂ = 5Н, образующих между собой угол а = 45°.

( Ответ: 9,24 Н).

Задача № 2.2. (Рис. 2.11). Равнодействующая двух равных по модулю сходящихся сил = =15 Н направлена по оси Oy и равна по модулю 10 Н. Определить в градусах угол α, образованный вектором с положительным направлением оси Ox. (Ответ: ).

Задача № 2.3. (Рис. 2.12). Определить модуль равнодействующей сходящихся сил , и , если известны углы, образованные векторами этих сил с осью Ox: , и . (Ответ: 44,1^°).

Задача № 2.4. Силы F₁ = F₂ = 10 Н и F₃ находятся в равновесии. Линии действия сил между собой образуют углы по 120°. Определить модуль силы F₃ .

(Ответ: 10 Н).

З адача № 2.5. (Рис. 2.13). Определить модуль силы F₃ натяжения троса ВС, если известно, что натяжение троса АС равно F₂ = 15Н. В положении равновесия углы α = 30° и β = 75°.

(Ответ: 7,76 Н).

Задача № 2.6. По заданным проекциям силы на оси координат: F_x = 20 H, F_y = 25 H и F_z = 30 Н, определить модуль этой силы. (Ответ: 43,9 Н).

Задача № 2.7. (Рис. 2.14). Определить модуль равнодействующей трех сходящихся сил, если заданы их модули F₁ = 5 кН, F₂ = 12 кН, F₃ = 9 кН и угол β = 60°. (Ответ: 20,9 Н).

Задача № 2.8. Силы F₁ = F₂ = F₃ = 30 Н направлены по трем взаимно перпендикулярным осям координат. Могут ли они быть уравновешены силой F₄ = 51,96 Н и почему? (Ответ: «да»).

Задача № 2.9 .Определить момент силы относительно начала координат, если сила задана проекциями F_x = F_y = 210 Н и известны координаты точки приложения силы x = у= 0,1 м. (Ответ М = 0).

Задача № 2.10. (Рис. 2.15). Сила F = 420 Н, приложенная к точке А, лежит в плоскости Оxy. Определить момент силы относительно точки О, если координаты x_A = 0.2 м, y_A = 0.3 м и угол α=30.^°

(Ответ М = 151 Нм).

Задача № 2.11. На закрепленную балку действует плоская система параллельных сил. Сколько независимых уравнений равновесия балки можно составить? (Ответ: 2 уравнения).

Вопросы для самопроверки

1. Главный вектор системы сил. Сложение двух сил.

2. Сложение трёх сил, не лежащих в одной плоскости. Сложение систем сил. Силовой многоугольник. Сходящиеся силы. Равнодействующая сходящихся сил.

3. Разложение силы по двум и трём заданным направлениям.

4. Проекция силы на ось и на плоскость.

5. Аналитический способ задания сил.

6. Аналитический способ сложения сил.

7. Геометрическое и аналитическое условия равновесия сходящихся сил.

8. Теорема о трех силах.

9. Статически определимые и неопределимые системы.

10. Момент силы относительно центра (или точки) и его свойства. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы.

11. Определение точки приложения равнодействующей двух параллельных сил.