9. Плоскопараллельное движение твёрдого тела

Уравнение плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное. Определение траекторий и скоростей точек тела. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела. Определение скоростей точек тела с помощью мгновенного центра скоростей. План скоростей. Определение ускорений точек тела [1, с. 127–146; 2, с. 113–130; 3, с. 241–265; 4, с. 49–50].

9.1. Уравнение плоскопараллельного движения.

Разложение движения на поступательное и вращательное

П лоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твёрдого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П (рис. 9.1). Плоское движение совершают многие детали механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Оxy, параллельной плоскости П. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ^', перпендикулярной к сечению S, т. е. к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости Oxy. В дальнейшем будем плоскость Oxy совмещать с плоскостью рисунка, а вместо всего тела изображать только его сечение.

Положение сечения S в плоскости Oxy определяется, очевидно, положением какого-нибудь проведённого в этом сечении отрезка АВ (рис. 9.2).

В свою очередь, положение отрезка АВ можно определить, зная координаты и точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью Ox.

Точку А, выбранную для определения положения сечения S, называют полюсом.

При движении тела величины x_A, y_A и φ будут изменяться. Чтобы знать закон движения тела, т. е. знать его положение в пространстве в любой момент времени, надо знать зависимости:

, , . (9.1)

Уравнения (9.1), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в её плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твёрдого тела.

П лоскопараллельное движение состоит из поступательного и вращательного. Поступательное движение описывается первыми двумя уравнениям (9.1). а вращательное – третьим.

Рассмотрим два последовательных положения I и II, которые занимает сечение S движущегося тела в момент времени t₁ и t₂ = t₁ + Δt (рис. 9.3) Сечение S, а с ним и всё тело можно привести из положения I в положение II следующим образом. Переместим сначала тело поступательно, так, чтобы полюс А₁, двигаясь вдоль своей траектории, пришёл в положение А₂ (при этом отрезок А₁В₁ займёт положение ), а затем повернём сечение вокруг полюса А₂ на угол Δφ₁. Таким же путём можно переместить тело из положения II в следующее и т. д.

Таким образом, плоскопараллельное движение твёрдого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же , как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

В качестве полюса можно выбирать любую точку фигуры сечения. При изменении точки принимаемой за полюс, характеристики поступательной части движения изменяются (скорость и ускорение другой точки фигуры сечения в общем случае будут отличаться от и ), а характеристики вращательной части движения ω и ε останутся неизменными (так как любая прямая сечения, параллельного плоскости П (рис. 9.1), при плоскопараллельном движении твёрдого тела поворачивается на один и тот же угол). плоскопараллельного движения описывается первыми двумя уравнениями (9.1), а вращательная – третьим уравнением. Следует отметить, что вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса (v_пост = v_A, a_пост = а_А), а также угловая скорость ω и угловое ускорение ε вращательного движения вокруг полюса. Значение этих характеристик в любой момент t времени можно найти по уравнениям (9.1).

При изучении движения в качестве полюса можно выбирать любую точку тела.