2.5. Аналитический способ сложения сил

Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Согласно этой теореме для любой системы сил , сумма сил (главный вектор) которых равна ,

. (2.8)

Зная , , по формулам (2.6) находим

. (2.9)

Формулы (2.8) и (2.9) позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.

Для сил, расположенных в одной плоскости, формулы (2.8) и (2.9) принимают вид:

. (2.10)

Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на оси координат.

2.6. Равновесие системы сходящихся сил

Твёрдое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое называют движением «по инерции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Для равновесия приложенной к твёрдому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Эти условия можно выразить в геометрической или аналитической формах.

Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в ноль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда многоугольник замкнётся.

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.

Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая система сходящихся сил определяется формулами (2.9) и (2.10).

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то обратится в ноль тогда, когда одновременно , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

, . (2.11)

Равенства (2.11) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трёх координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В этом случае условиями равновесия будут:

. (2.12)

Равенства (2.11) и (2.12) выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твёрдого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

Т еорема о трёх силах. Если свободное твёрдое тело под действием трёх сил , , , лежащих в одной плоскости, две из которых и пересекаются в одной точке А (рис. 2.8), находится в равновесии, то линии действия таких трёх сил пересекаются в одной точке.

Заменим действие двух сил и равнодействующей . Тогда на тело будут действовать две силы: сила и сила , приложенная в какой-либо точке В тела. Если тело при этом находится в равновесии, то согласно аксиоме 1 силы и должны быть направлены по одной прямой, т. е. вдоль АВ. Следовательно, сила тоже проходит через точку А, что и требовалось доказать.

Теорема о трёх силах позволяет иногда определить линию действия неизвестной силы. Обратная теорема неверна, т. е. если линии действия трёх сил пересекаются в одной точке, то тело под действием этих сил может и не находиться в равновесии.