11. Общие теоремы динамики точки

Количество движения и кинетическая энергия точки. Импульс силы. Теорема об изменении количества движения точки. Работа силы. Мощность. Теорема об изменении кинетической энергии точки [1, с. 201–213; 290–295, 301−313; 2, с. 215–250; 3, с. 285–325; 4, с. 71–88].

Для решения многих задач динамики вместо метода интегрирования дифференциальных уравнений движения иногда оказывается более удобным пользоваться так называемыми общими теоремами механики, являющимися следствиями основного закона динамики. Они устанавливают наглядные зависимости между основными динамическими характеристиками движения материальных тел и избавляют от необходимости проделывать для каждой задачи те операции интегрирования, которые раз и навсегда производятся при выводе этих теорем; тем самым упрощается процесс решения.

11.1. Количество движения и кинетическая энергия точки

Основными динамическими характеристиками движения точки являются количество движения и кинетическая энергия.

Количеством движения точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на вектор её скорости. Направлен вектор так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к её траектории.

Кинетической энергией точки называется скалярная величина , равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости.

Единицами измерения этих величин в системе СИ являются: .

Необходимость введения двух динамических характеристик объясняется тем, что одной характеристикой нельзя охватить все особенности движения точки.

11.2. Импульс силы

Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы. Введём сначала понятие об элементарном импульсе, т. е. об импульсе за бесконечно малый промежуток времени dt. Элементарным импульсом силы называется векторная величина , равная произведению вектора на элементарный промежуток времени dt:

. (11.1)

Направлен элементарный импульс по линии действия силы.

Импульс любой силы за конечный промежуток времени t₁ вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов:

. (11.2)

Следовательно, импульс силы за любой промежуток времени t₁ равен определённому интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до t₁.

В частном случае, если сила постоянна и по модулю, и по направлению , то . Причём в этом случае и модуль S = Ft₁.

В общем случае модуль импульса может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

. (11.3)

Единицей импульса сила в системе СИ, как и количества движения, является .

11.3. Теорема об изменении количества движения точки

Так как масса точки постоянна, а её ускорение , то уравнение (10.3), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

. (11.3)

Уравнение (11.3) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Проинтегрировав правую часть уравнения (11.3) в интервале времени от 0 до t₁ , а левую – в интервале скоростей и , соответствующих началу и концу рассматриваемого интервала времени, получим

. (11.4)

Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (11.2), представляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:

. (11.5)

Уравнение (11.5) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (11.5) часто пользуются уравнениями в проекциях. Проецируя обе части равенства (11.5) на оси координат, получим

. (11.6)

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ox, теорема выражается первым из этих уравнений.