5. Системы пар и сил в пространстве

Момент пары сил. Момент силы относительно оси. Момент силы относительно центра О в пространстве. Сложение сил, произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия. [1, с. 72–86; 2, с. 40–53; 3, с. 154–178; 4, с. 17–21].

5.1. Момент пары сил. Момент силы относительно оси

М омент пары в пространстве рассматривается как вектор (рис. 5.1), направленный по перпендикуляру к плоскости заданной пары сил в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть пару стремящейся повернуть плоскость против хода часовой стрелки. Этот вектор может быть приложен в любой точке плоскости действия пары, т. к. пару сил в этой плоскости можно переносить. Модуль вектора момента равен произведению одной из сил пары на её плечо: .

Т аким образом, вектор момента определяет: числовое значение момента, плоскость действия пары сил и направление, в котором пара сил стремится повернуть эту плоскость.

В общем случае момент силы относительно центра О в пространстве (рис. 5.2) изображается вектором , приложенным в точке О, равным по модулю произведению модуля силы на плечо и перпендикулярным к плоскости ОАВ, проходящей через центр О и силу . Направлять вектор следует в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против хода часовой стрелки.

Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Чтобы вычислить момент силы относительно оси z (рис. 5.3), следует спроецировать эту силу на плоскость I , перпендикулярную к оси, а затем вычислить момент этой проекции F₁ относительно точки О пересечения оси с плоскостью.

Таким образом, моментом силы относительно оси z называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля проекции силы на плоскость, перпендикулярную к оси, на её плечо относительно точки О пересечения оси с плоскостью: .

Момент силы относительно оси считается положительным, если, смотря навстречу оси z, можно видеть проекцию силы , стремящейся повернуть плоскость I вокруг оси z против хода часовой стрелки.

Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

– если , т. е. линия действия силы параллельна оси z;

– если , т. е. линия действия силы пересекает ось z.

5.2. Сложение сил, произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия

Д ля сложения системы сил , , , произвольно расположенных в пространстве (рис. 5.4), используем метод приведения сил к заданному центру. Приведя все силы к некоторому центру О, получим три силы , и , приложенные в точке О, и три присоединённые пары ( , ), ( , ) и ( , ) (рис. 5.4а). Складывая силы , и , приложенные в точке О, получим их равнодействующую (рис. 5.4б), которая приложена в точке О и равна главному вектору заданной системы сил:

.

Складывая присоединённые пары, найдём эквивалентную пару сил.

Момент пары сил, эквивалентный трём присоединённым парам, равен геометрической сумме моментов этих пар:

,

т.е. момент полученной пары равен главному моменту трёх сил относительно центра приведения О (рис. 5.4б).

Распространяя полученные результаты на любое число сил, произвольно расположенных в пространстве, получим:

. (5.1)

Полученный результат можно сформулировать следующим образом: силы, произвольно расположенные в пространстве, всегда могут быть приведены к одной силе, равной их главному вектору, приложенной в центре приведения, и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Модуль и направление главного вектора определяются по формулам:

. (5.2)

Модуль и направление главного момента определяются по формулам:

. (5.3)

Необходимые и достаточные условия равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве, выражаются равенствами

и .

Но векторы и равны нулю только тогда, когда их проекции на оси координат равны нулю,

, (5.4)

т. е. когда действующие силы будут удовлетворять условиям:

. (5.5)

Силы, произвольно расположенные в пространстве, всегда могут быть приведены к одной силе (главному вектору) и к паре сил (главному моменту).

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трёх координатных осей и сумма их моментов относительно этих же осей были равны нулю. Всего можно составить шесть уравнений равновесия.

Задачи для самостоятельного решения

З адача № 5.1. (Рис. 5.5). К точке А прямоугольного параллелепипеда приложена сила F = 4·кН. Определить момент этой силы относительно оси Оу, если размеры АВ = 20м; BC = 10м; BD = 6 м. Ответ: - 8·10⁴ Нм)

Задача № 5.2. (Рис. 5.6). Определить момент силы относительно оси Ox если её значение F = 16 Н, ребро куба AB=BC=BD = 0,75 м. (Ответ: - 8,49 Нм).

Задача № 5.3. (Рис. 5.7). На куб действуют три пары сил с моментами М₁ = М₂ = М₃ = 2 Нм. Определить модуль момента равнодействующей пары сил.

(Ответ: 3,46 Нм).

Задача № 5.4. (Рис. 5.8). Определить главный вектор системы трех сил F₁ = F₂ = F₃ = 1 Н, направленных по сторонам треугольника АВС, если АВ = ВС = АС = 0,5 м. (Ответ: 0).

З адача № 5.5. (Рис. 5.8). Однородная горизонтальная балка DE, вес которой G = 6 кН, опирается в точке D на горизонтальный изогнутый стержень АВС, удерживаемый вертикальным тросом CK. Определить расстояние CD, при котором натяжение троса CF будет равно 1 кН, если расстояние BD = 1м.

(Ответ: CD = 2 м)

Вопросы для самопроверки

1. Момент пары сил и силы относительно центра в пространстве.

2. Момент силы относительно оси.

3. Сложение сил, произвольно расположенных в пространстве.

4. Условия равновесия сил в пространстве.