10.3. Система единиц

Для измерения всех механических величин достаточно ввести независимые друг от друга единицы измерения каких-нибудь трёх величин. Двумя из них принято считать единицы длины и времени. В качестве третьей наиболее удобной является единица измерения массы, или силы. В международной системе (СИ) основными единицами измерения механических величин являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей измерения силы является производная единица –

1 ньютон (Н) – сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение равное 1 м/с² ( . Между силой и массой тела существует зависимость: . Вес тела (m – масса тела, кг; g = 9,81 ≈10 м/с² – ускорение свободного падения).

10.4. Задачи динамики

Для свободной материальной точки задачами динамики являются:

– первая задача динамики – зная закон движения точки, определить действующую на неё силу;

– вторая задача динамики (основная) – зная действующие на точку силы, определить закон движения точки.

10.5. Дифференциальное уравнение движения точки

Р ассмотрим материальную точку, движущуюся прямолинейно под действием приложенной к ней силы . Положение точки на траектории определяется её координатой x (рис. 10.1). Основная задача динамики в этом случае состоит в том, чтобы, зная , найти закон движения точки М, т. е. . Связь между x и даёт уравнение (10.3). Проецируя обе его части на ось Ox, получим

или, так как ,

. (10.5)

Уравнение (10.5) называется дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки. Это уравнение является дифференциальным, так как подлежащая определению величина x входит в него под знаком производной.

Часто уравнение (10.5) заменяют двумя дифференциальными

. (10.6)

На тело, наряду с постоянными силами, действуют обычно и переменные силы. В основе динамики лежат законы, впервые сформулированные И. Ньютоном − закон инерции, основной закон динамики и закон равенства действия и противодействия.

Динамика решает две задачи: первая – определение действующих сил при заданном законе движения точки, и вторая – определение закона движения точки при заданных силах, действующих на точку.

Прямолинейное движение материальной точки описывается дифференциальным уравнением второго порядка.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 10.1. Точка массой m = 4 кг движется по горизонтальной прямой с ускорением а = 0,3 t. Определить модуль силы, действующей на точку в направлении её движения в момент времени t = 3 с. (Ответ: F = 6 H).

З адача 10.2. Тело массой т = 50 кг, подвешенное на тросе, поднимается вертикально с ускорением а = 0,5 м/с². Определить силу натяжения троса.

(Ответ: F = 516H).

Задача 10.3. Материальная точка массой 1,4 кг движется прямолинейно по закону х = 6t² + 6t + 3. Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке. (Ответ: F = 16,8 H).

Задача 10.4. (Рис. 10.2). Тело М массой 2 кг движется прямолинейно по закону х = 10 sin 2 t под действием силы . Найти наибольшее значение этой силы. (Ответ: F = 80 H).

Задача 10.5. Движение материальной точки массой т = 8 кг происходит в горизонтальной плоскости Оху согласно уравнениям х = 0,05 t³ и у = 0,3 t². Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке, в момент времени t = 4 с. (Ответ: F = 10,7 H).

Задача 10.6. Деталь массой т = 0,5 кг скользит вниз по лотку. Под каким углом к горизонтальной плоскости должен располагаться лоток, для того чтобы деталь двигалась с ускорением а = 2 м/с² ? Угол выразить в градусах.

( Ответ: α = 11,8^°).

Задача 10.7. (Рис. 10.3). Скорость движения точки массой т = 24 кг по прямой задана графиком функции υ = υ (t). Определить модуль равнодействующей сил, действующих на точку.

(Ответ: R = 36 H).

Задача 10.8. (Рис. 10.4). Материальная точка массой m = 5 кг движется под действием сил F₁ = 3 Н и F₂ =10 Н. Определить проекцию ускорения а_x точки на ось Ох. (Ответ: а_x = 1,13 м/с²).

З адача 10.9. Моторная лодка массой m = 200 кг после остановки мотора движется прямолинейно, преодолевая сопротивление воды. Сила сопротивления R = 4 υ². Определить ускорение а лодки, когда её скорость v = 5 м/с.

(Ответ: а = -0,5 м/с²).

Задача 10.10. (Рис. 10.5). Тело массой т = 200 кг из состояния покоя движется вверх по гладкой наклонной плоскости под действием силы F = 1 кН. Определить время t, за которое тело переместится на расстояние 8 м. (Ответ: t = 4,33 c).

Вопросы для самопроверки

1. Что изучается в динамике материального объекта? Инертность, масса тела.

2. Система отсчёта, движение по инерции.

3. Сформулируйте три закона динамики.

4. Вес тела и его масса.

5. Назовите основные единицы измерения механических величин.

6. Сформулируйте две задачи динамики.

7. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки.