2.2. Разложение сил
Разложить данную силу не несколько составляющих – значит найти такую систему нескольких сил, для которых данная сила является равнодействующей. Эта задача является неопределённой и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий. Рассмотрим два наиболее важных частных случая.
Р
азложение
силы по двум заданным направлениям.
Разложим заданную силу
(рис. 2.4)
по двум направлениям, параллельным
данным прямым АВ
и АD
(сила и прямые лежат в одной плоскости).
Задача сводится к построению такого
параллелограмма, у которого диагональ
будет изображать силу
,
а стороны будут параллельны прямым АВ
и АD.
Для решения задачи проводим через начало
и конец силы
прямые, параллельные АВ
и АD
(рис. 2.4а).
Силы
и
и будут искомыми составляющими, так как
.
Разложение можно также произвести построением силового треугольника. Для этого от произвольной точки а откладывается сила и через её концы проводятся прямые, параллельные АВ и АD, до их взаимного пересечения.
Найденные силы и заменяют силу , если их приложить в точке А или в любой другой точке на линии действия силы .
Разложение силы по трём заданным направлениям. Если заданные силы не лежат в одной плоскости, то задача является определённой и сводится к построению такого параллелепипеда, у которого диагональ изображает заданную силу , а рёбра параллельны заданным направлениям (см. рис. 2.2).
2.3. Проекция силы на ось и на плоскость
Р
ассмотрим
аналитический (численный) метод решения
задач статики. Этот метод основывается
на понятии о проекции силы на ось.
Проекцией
силы на ось
называется (рис.
2.5)
скалярная величина (соответствующим
знаком), равная длине отрезка, заключённого
между проекциями начала и конца силы
на ось:
.
(2.4)
Д
ругими
словами, проекция
силы на ось равна произведению модуля
силы на косинус угла между направлением
силы и положительным направлением оси.
При этом проекция будет положительной,
если угол между направлением силы и
положительным направлением оси –
острый, и отрицательный, если этот угол
– тупой. Если
сила перпендикулярна к оси, то её проекция
на ось равна нулю.
Проекцией
силы
на плоскость Oxy
называется вектор
,
заключённый между проекциями начала и
конца силы
на эту плоскость (рис.
2.6).
По модулю
,
θ
– угол между направлением силы
и её проекции
.
Проекции силы
на оси x,
y
и z
находим
по формулам:
.
(2.5)
В отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости Oxy.
2.4. Аналитический способ задания сил
Для аналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Oxyz, по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве.
В
ектор,
изображающий силу
,
можно построить, если известны модуль
этой силы F
и углы α,
β, γ,
которые сила образует с данными осями
координат. Величины
F,
α, β, γ
являются парметрами определяющие
данную силу
.
Точка А
приложения силы должна быть задана
дополнительно её координатами x,
y, z
(рис.
2.7).
Для решения задач статики удобнее силу задавать её проекциями. Сила будет задана, если будут известны её проекции Fx, Fy, Fz на оси прямоугольной системы координат.
Из формулы (2.4) следует, что
.
Возводя
эти равенства почленно в квадрат и
складывая их с учётом того, что
,
получим
(2.6)
Зная проекции силы на оси координат, формулы (2.6) позволяют найти модуль силы и углы α, β, γ, т. е. определить силу.
В случае, когда все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости, каждую из сил можно задать её проекциями на две оси Ox и Oy. Тогда формулы, определяющие силу по её проекциям, принимают вид:
.
(2.7)
В этом случае сила, если известны её проекции, может быть определена геометрически по правилу параллелограмма.